Axiomele geometrie în spațiu

schimb de joacă geometrie în spațiu

este construită pe baza acestor

patru noțiuni punct dreaptă plan

și spațiu aceste noțiuni sunt legate

între ele prin axiome și vom discuta

despre axiomele geometriei în spațiu

Ce este aceea o axiomă o axiomă

este o propoziție matematică al

cărei adevăr Este evident prin

urmare nu e nevoie ca acela de

păr să fie demonstrat și să vedem

acum care sunt acele propoziții

matematice evidente pe baza cărora

este construită geometria în spațiu

și începem cu axiomă dreptei care

ne spune că două puncte distincte

determina o dreaptă și numai una

a fiecărui an de două puncte întruna

numit plan sau în spațiu le determină

o dreaptă unică Deci dacă avem

aici punctul să notăm cu A mare

și aici punctul B care este dreapta

determinată de a Ce este două puncte

Iată vorbim De fapt de această

dreaptă dreapta AB mai există vreo

altă dreaptă determinată de punctele

a și b nu pentru că iată nu putem

spune că un asemenea desen Da este

o dreaptă care trece prin punctele

a și b dreapta este perfect întinsă

ce avem aici este o linie curbă

prin urmare două puncte distincte

determina o dreaptă și numai una

a doua exeo mai este axiomă planului

de câte puncte credeți că avem

nevoie pentru a determina un plan

unic două puncte sunt Oare suficiente

Păi Haideți să ne uităm la acest

desen ce avem aici Avem două puncte

d și a și observăm că avem aici

trei plane punctele d și e clar

că sunt conținute în toate aceste

trei plane dacă vreți ne putem

imagina că aceste două puncte d

și e se află pe cotorul unei cărți

iar cele trei plane sunt trei din

firele cărții respective atunci

ușor de înțeles faptul că cele

două puncte d și e aparțin tuturor

celor trei plane de fapt le pot

aparține unui număr infinit de

plane cu alte cuvinte nu sunt suficiente

două puncte ca să determinăm un

singur plan dar dacă am luat trei

puncte să avem aici punctul A punctul

B și cum să fie aceste trei puncte

necoliniare pentru că dacă ele

ar fi coliniare atunci de am întoarce

la această situație Deci dăm doce

trei puncte necoliniare Câte plane

putem să trasăm astfel încât planele

respective să conțină toate cele

trei puncte Păi putem să transform

de fapt un singur plan și anume

acesta avem planul determinat de

este trei puncte a b și c De ce

ai de să reținem Că trei puncte

necoliniare determină un plan și

numai 1 Deci dacă vrem să determinăm

un plan avem nevoie de trei puncte

necoliniare și putem să notăm cu

alfa sau putem să îl denumim folosind

punctele care îl determină și anume

a b și c și trecem în paranteză

citim planul a b c care este egal

cu planul alfa avem de fapt un

singur plan următoarea axiomă este

axioma paralelelor care ne spune

că între un plan printr un punct

exterior unei drepte se poate duce

o singură paralelă la acea dreaptă

Deci Considerăm că avem aici un

plan mi se dă un punct exterior

unei drepte Deci avem o dreaptă

să o notăm cu d și chiar o să fac

desenul ceva mai jos și mai avem

un punct exterior acesteia e drept

a să notăm cu A deci a nu aparține

dreptei d și ni se spune că prin

acest punct exterior dreptei D

în acest plan putem să ducem o

singură paralelă la dreapta d întradevăr

putem să ducem doar o paralelă

Iată o voi trasa cu altă culoare

și avem aici dreapta d prim deci

a aparține dreptei d prim dreapta

d și dreapta d prim sunt drepte

paralele prin urmare înseamnă că

dreapta d prim este de fapt Unica

dreaptă d și d prim Este unică

și unica dreaptă care are aceste

proprietăți Ce înțelegem acum prin

drepte paralele ca să ne fie foarte

clar două drepte distincte se numesc

drepte paralele dacă Atenție se

află în același plan și nu au niciun

punct în comun Deci avem aici definiția

dreptelor paralele altă axiomă

ne spune că dacă două puncte distincte

aparțin unui plan atunci dreapta

determinată de ele este inclusă

în plan Deci Haide să vedem și

pe desen avem un plan și știm că

dacă două puncte distincte aparțin

unui plan Deci avem două puncte

distincte a și b care aparțin acestui

plan să notăm a aparține planului

Alfa b aparține planului Alfa Cum

sunt cele două puncte distincte

a diferit de b atunci Ce rezultă

rezultă că dreapta determinată

de ele este inclusă în plan Deci

dreapta a b este inclusă în planul

Deci rezultă că a b este inclusă

în acest plan de să reținem că

dacă ni se dau două puncte între

un plan atunci dreapta determinată

de ele este inclusă în plan o altă

axiomă ne spune că Dacă două plane

au un punct în comun atunci ele

mai au cel puțin încă un punct

în comun Deci dăm jos două plane

Iar avem aici planul alfa cel așezat

orizontal și planul Beta cal așezate

verticală și știm că aceste două

plane au un punct în comun a notat

aici Ce spun cu ei atunci Este

evident faptul că le mai au cel

puțin încă un punct în comun să

notăm următorul punct cu b Oricum

neam imaginat două plane Nu avem

cum să le așezăm astfel încât ele

să aibă doar un singur punct în

comun Deci două plane care se intersectează

au cel puțin două puncte ultima

axiomă este aceasta care ne spune

că în spațiu există cel puțin patru

puncte necoplanare necoplanare

înseamnă că nu sunt în același

plan și am trasat aici planul determinat

de trei puncte necoliniare punctele

A B și C și ușor de văzut că mai

există cel puțin încă un punct

care nu se află în acest plan și

am notat acest punct cu d Deci

punctul d nu aparține planului

determinat de cele trei puncte

a b c sau puteți să înotați bc

acum doriți putem să trecem punctele

În ce ordine vrem cu alte cuvinte

eu unul și același lucru cu a spune

că punctele a b c și d sunt puncte

necoplanare adică nu sunt în același

plan acestea au fost șase axiome

foarte importante pe care se bazează

Ion spațiu și acum folosind un

atlas este axiome vom demonstra

alte enunțuri matematice și anume

vom demonstra teoreme și vrem să

demonstrăm această teoremă Dacă

două plane distincte au un punct

în comun atunci ele au o dreapta

comună pe care se află toate punctele

comune a acestor plane Haide să

ne folosim și de un desen aici

avem planele Alfa și Gamma această

linie o tras în punctat pentru

că ea se află în spatele planului

Alfa iar Aceasta se află în spatele

planului gama află nu Sebi normale

în spate ele nu ar trebui să se

vadă de aceea le trasăm punctat

Deci Alfa și Gamma sunt două plane

distincte Haide Să montăm aici

Alfa este diferit de gam știind

că ele au un punct în comun punctul

a aparține planului Alfa punctul

a aparține și planului Gama ce

vrem Să arătăm vrei Să arătăm că

planele Alfa și Gamma au de fapt

o dreaptă în comun iar pe această

dreaptă se află toate punctele

comune a acestor plane cu alte

cuvinte vrem Să arătăm că ele au

o dreaptă în comun iar în afară

de această dreaptă planele nu mai

au nici un alt punct în comun Deci

intersecția lor este această dreaptă

bun cum începem demonstrația Păi

știm că Alfa și Gamma sunt două

plane distincte care au un punct

în comun si axiomă cunoaștem Haideți

să vedem avem aici axiomă aceasta

care ne spune că Dacă două plane

au un punct comun atunci ele mai

au cel puțin încă un punct în comun

Deci cele două plane au un punct

în comun punctul a și atunci mai

iau cel puțin încă un punct în

punctul B dată că și aici trebuia

să trasăm punctat bun și acum Haideți

să revenim la teorema noastră pe

care o avem de demonstrat Deci

cum planele noastre Alfa și Gamma

au un punct în comun înseamnă că

le mai au cel puțin încă un alt

punct în comun și să notăm cu b

Deci rezultă de aici din axioma

numărul 5 atât era trecut la noi

rezultă că există b punct am folosit

acest semn de există virgulă b

diferit de ei pentru că sunt puncte

distincte astfel încât B aparține

căror plane Păi aparține și planului

Alfa dar b aparține și planului

gama pun ce avem în acest moment

avem că punctul A și punctul b

aparțin amândouă planului Alfa

Deci a aparține planului Alfa b

aparține și el tot planului Alfa

a este diferit de b atunci Ce rezultă

Păi noi mai știm încă o axiomă

axioma numărul 4 care ne spune

că de nu se două puncte distincte

între un plan înseamnă că dreapta

determinată de ele este inclusă

în planul respectiv Deci rezultă

de aici că dreapta a b este inclusă

în planul alfa ce credeți că urmează

să facem Păi absolut la fel punctul

punctele a și b se află știind

planul gama Deci Analog si va rezulta

că dreapta a b este inclusă în

planul gama Deci ab inclusă în

gama Ce rezultă din aceste două

relații dreapta a b se află și

în planul alfa și în planul gama

prin urmare înseamnă că dreapta

AB atenție este inclusă în intersecția

celor două plane Alfa intersectat

cu gama nu putem să spunem din

start că ab este egal cu intersecția

celor două plane De ce nu putem

să trecem aici egalitate Păi momentan

nu am arătat că cele două plane

au dreapta a b în comun în cerc

aici să trecem egal trebuie să

arătăm că această dreaptă a b este

singurul element comun al celor

două plane Cati trebuie să arătăm

incluziunea inversă Adică dacă

un punct se află în intersecția

celor două plane atunci automat

in se află pe dreapta ab vom șterge

aici și vom păstra doar Ultima

relație pe care am obținut o și

anume această relație de am demonstrat

că AB se află în intersecția celor

două plane ce am spus că arătăm

acum că dreapta a b este singurul

element comun al celor două plane

atunci vom folosi metoda reducerii

la absurd Deci presupunem notăm

prescurtat astfel că există un

punct M care aparține planului

Alfa intersectat cu gama Deci presupun

că există m a astfel încât m aparține

intersecției Alfa intersectat cu

gama Dar m nu aparține dreptei

ab dacă arătăm că aceasta presupunere

este falsă înseamnă că orice punct

care se află în intersecția celor

două plane este pe dreapta ab și

atunci avem aici egalitate Deci

avem că m nu aparține dreptei ab

m nu aparține dreptei ab chiar

să trecem un punct M aici Iată

Considerăm că el aparține și lui

Alfa și lui gama dar nu se află

pe această dreaptă cum punctele

a și b sunt puncte diferite Ce

rezultă de aici că e m a și b sunt

Ce fel de puncte sunt puncte necoliniare

bun acum Ce mai știm despre aceste

trei puncte punctul a aparține

lui Alfa la fel și punctul B Ba

chiar mai mult și punctul M se

află în Alfa bun avem că punctele

A a b și m aparțin planului Alfa

și știind că ele sunt necoliniare

iar ele sunt în planul alfa și

sunt necoliniare Ce știm noi despre

trei puncte necoliniare că le determină

un plan unic deci de aici rezultă

din axiomă planului axioma numărul

2 că planul determinat de punctele

a b și m d c planul abm este de

fapt identic cu planul alfa pentru

că i le determină un plan unic

Păi absolut la fel Analog ce vom

arăta că punctele A B și m Care

sunt în planul gama determină un

alt plan Care este identic cu planul

gama de ce Analog rezultă că planul

a b m este egal cu planul gama

aceeași demonstrație Doar că aici

vom trece planul gama Păi iată

ce relație am obținut avem aici

această relație și aceasta înseamnă

că planul alfa este egal cu planul

gama Deci rezultă că planul alfa

este egal cu planul gama ia adevărat

această relație nu mai avem două

distincte DEX trecem aici semnul

de contradicție aceste săbii încrucișate

înseamnă că presupunerea noastră

este una falsă Deci rezultă că

oricare ar fi m care aparține intersecției

Alfa cu gama rezultă că M aparține

dreptei a b prin urmare din această

relație și aici ai de să trecem

relația steluță Deci rezultă din

această relație și din relația

steluță că Alfa intersectat cu

gama este de fapt dreapta AB și

nu există nici un alt punct în

afara dreptei ab care să se afle

în intersecția acestor două plane

deci putem veni aici să ștergem

punctul m și prin urmare am Arătați

că dacă două plane distincte au

un punct în comun atunci ele au

o dreaptă în comun și această dreaptă

este singur element comun al planelor