Descompunerea unui vector într-un reper cartezian

avem un sistem de axe x o y în

care vom reprezenta doi vectori

ce vor indica sensul pozitiv pentru

fiecare axă acești doi vectori

vor avea modulul egal cu unitatea

și ei se vor numi versuri voi nota

cu verisorul Axa o x și cu j versorul

axa o y A dar modulul vectorului

e este egal cu modulul vectorului

J și este egal cu 1 Să considerăm

acum un punct A iar un endo regione

a sistemului de axe cu acest punct

se obține un Vector numit vectorul

de poziție al punctului a în continuare

ne propunem să scriem acest Vector

o a în funcție de versorii i și

j cu alte cuvinte spunem că am

descompus vectorul o a după direcțiile

versorilor i și j descompunerea

unui Vector este operația inversă

adunării prin urmare vom folosi

regula paralelogramului și vom

duce din a paralele la cele două

axe vointa sis.com a unu Iar acest

punct cu ei doi voi nota abscisa

punctului a cu X indice a și ordonata

punctului a cu y indice a de asemenea

voi construi și vectorii o a 1

respectiv o a 2 Aplicând regula

paralelogramului observăm că vectorul

o a este suma vectorilor o a 1

și o a 2 dar vectorul o a 1 și

versorul e sunt vectori coliniari

prin urmare vectorul o a 1 se obține

Înmulțind versorul e cu un scalar

cu o constantă iar această constantă

este chiar abscisa punctului a

pe care am notată cu X indice a

De exemplu dacă x indice a este

5 atunci vectorul o a 1 este egal

cu 5 ori e pentru că e are lungimea

egală cu unitatea Așadar vectorul

o a 1 se scrie cu ajutorul versorul

lui e astfel x indice a ori i iar

vectorul o a 2 va fi y la fel Aceștia

sunt vectori coliniari iar y a

este constanta cu care trebuie

să înmulțim versorul j pentru a

obține vectorul o a doi am reușit

astfel să scrie în vectorul de

poziție al punctului a cu ajutorul

versorilor e și j sau mai putem

spune că am descompus vectorul

o a după direcțiile versorilor

i și j numerele x și y a se numesc

coordonatele vectorului o a acestea

erau și coordonatele punctului

a această expresie pe care am obținut

o Aici se numește expresia analitică

a vectorului o Să considerăm acum

un alt punct b ducem vectorul de

poziție al punctului b ne propunem

să exprimăm în continuare vectorul

OB în funcție de versuri I și j

pentru aceasta duce în paralele

la cele două axe de coordonate

lupte acest punct cu B1 iar abscisa

punctului b o notez cu X indice

b era acest punct o să notezi cu

B2 iar ordonata punctului b cu

y de de asemenea construim și vectorii

ob1 acesta cu galben respectiv

ob 2 și observăm Așadar că vectorul

OB se poate scrie ca suma vectorilor

ob1 și ob 2 vectorul o b 1 și versorul

e sunt vectori coliniari prin urmare

ob1 se poate scrie cu ajutorul

verișorul lui a astfel x indice

b ori e iar ob2 este yba-11 vectorul

OB după direcțiile versurilor i

și j coordonatele punctului b sunt

x indice b și y indice b iar acestea

vor fi și coordonatele vectorului

de poziție o b și acum Haideți

să construim și vectorul ab și

să exprimăm acest Vector în funcție

de versorii i și j observăm că

vectorul ab este egal cu o b minus

o a vrea mintesc că la diferență

vectorilor săgeata Indică descăzutul

Deci avem o b minus a o a și acum

înlocuim vectorii o b și o a cu

expresiile analitice găsite mai

sus în loc de o b o să avem x b

ori y plus y b ori Z minus x a

n i plus y ori Z desfacem paranteza

și aranjăm termenii avem x b o

e minus x a ori y plus y b o j

minus y a ori j din primii doi

termeni de factor comun pe și avem

x b minus x a înmulțit cu e plus

y b minus y a înmulțit cu j așa

dar aceasta este expresia analitică

a vectorului ab în funcție de versuri

I și j sau cu alte cuvinte descompunerea

vectorului ab după direcțiile versorilor

i și j aceste numere din fața versorilor

se numesc coordonatele vectorului

Deci coordonatele vectorului a

b sunt x b minus x a respectiv

y b minus y a în continuare ne

propunem să găsim o formulă de

calcul pentru lungimea vectorului

ab pentru aceasta vom construi

un triunghi dreptunghic și vom

aplica teorema lui Pitagora în

acest triunghi dreptunghic acest

segment are lungimea egală cu x

b minus x a Iar acest segment are

lungimea egală cu y că lungimea

vectorului AB este radical din

x b minus x a la pătrat plus y

b minus y a la pătrat să reținem

Așadar aceste două formule descompunerea

vectorului ab după direcțiile versurilor

e și j respectiv formula de calcul

pentru lungimea vectorului ab în

continuare aș vrea să mai facem

câteva observații dar să avem un

Vector un care are următoarea expresie

analitică X1 ori y plus y 1 ori

j și un alt Vector v care are expresia

analitică X2 plus y 2 ori j atunci

definim produsul dintre vectorul

u și scalarul Alfa astfel Alfa

ori este egal cu alfa pe lângă

x 1 y plus y 1 ori j desfacem paranteza

și obținem Alpha x 1 x plus Alpha

y1 origi suma dintre vectorii u

și v se va face pe componente se

adună coordonatele celor doi vectori

avem x 1 plus x 2 ori y plus y

1 plus y 2 ori j în mod Analog

definit și scăderea vectorilor

u și v condiția ca vectorii u și

v să fie egal este ca x-1 să fie

egal cu x 2 și 1 să fie egal cu

y 2 așa Dar cei doi vectori trebuie

să aibă aceleași coordonate iar

doi vectori ușii V sunt coliniari

Dacă și numai dacă are loc această

relație x 1 supra X2 egal cu 1

supra y 2 cu alte cuvinte doi vectori

sunt coliniari dacă au coordonatele

proporționale în clipul următor

o să facem câteva exerciții pentru

a înțelege mai bine aceste operații

cu vectori