Funcții monotone (aplicații)

în această lecție o să facem câteva

exerciții în care 100 de ani monotonia

unor funcții și începe cu această

funcție f definită pe r cu valori

in r f de x egal cu minus 3x plus

5 alegem două valori arbitrare

din domeniul de definiție fie X1

X2 numere reale astfel încât x

1 să fie mai mic decât x 2 m Calculați

diferență e de x 1 minus x 2 obținem

minus 3x 1 plus 5 minus minus 3x

2 plus 5 egal cu minus 3 x 1 plus

3x 2 factor comun pe minus 3 pe

lângă x 1 minus x 2 x 1 este mai

mic decât x 2 înseamnă că această

diferență este negativă iar cu

minus 3 din față acest produs devine

pozitiv prin urmare f de x 1 este

mai mare decât f de x 2 ia din

moment ce e funcția f schimbă relația

de ordine dintre argumente pentru

valorile funcției înseamnă că aceasta

este o funcție strict descrescătoare

continuăm cu al doilea exercițiu

avem funcția f definită pe r cu

valori in r f de x egal cu x plus

2 daca x este mai mic sau egal

decât minus 3 și x plus 5 dacă

x este mai mare decât minus 3 în

cazul în care avem o astfel de

funcții definite pe ramuri vom

studia 3 cazuri în primul caz alegem

cele două valori X1 X2 din primul

interval mai exact din intervalul

minus infinit minus 3 apoi alegem

cele două valori din intervalul

minus 3 plus infinit și în al treilea

ca azi alegem X1 din primul interval

și X2 din al doilea interval dacă

funcția f va avea aceeași monotonie

vom putea să stabilim monotonia

pe întreg domeniul de definiție

r Așadar începem cu primul că azi

alegem X1 X2 din intervalul minus

infinit minus 3 astfel încât x

1 să fie mai mic decât x 2 calculăm

diferența fdx 1 minus f de x 2

x 1 plus 2 minus x 2 plus 2 obținem

x 1 minus x 2 Dacă x-1 este mai

mic decât x noi această diferență

este negativă prin urmare f de

x 1 este mai mic decât f de x 2

observăm că funcția f păstrează

relația de ordine dintre argumente

și pentru valorile funcției Așadar

funcția f este strict crescătoare

pe acest interval minus infinit

minus 3 în al doilea caz om consideră

X1 X2 din intervalul minus 3 infinit

astfel încât x 1 să fie mai mic

decât x 2 m Stabiliți semnul diferenței

f de x 1 minus f de x 2 x 1 plus

5 minus x 2 plus 5 egal cu x 1

minus x 2 această diferență este

negativă pentru că x 1 este mai

mic decât x 2 prin urmare f este

strict crescătoare pe intervalul

minus 3 infinit și în al treilea

cos mult considera x 1 mai mic

sau egal decât minus 3 și x 2 mai

mare strict decât minus 3 Haideți

să adunăm la Prima in ecuație numărul

2 și obținem x 1 plus 2 mai mic

sau egal decât minus 1 dar x 1

plus 2 este f de x 1 mai mic sau

egal decât minus 1 la a doua inegalitate

adunăm numărul 5 și avem X2 plus

5 mai mare strict decât 2 prin

urmare a f de x 2 va fi strict

mai mare decât 2 dacă f de x este

mai mic sau egal decât minus 1

și f de x 2 este mai mare strict

decât doi putem trage concluzia

că fdx 1 este mai mic decât f de

x 2 prin urmare funcția f este

strict crescătoare pe întreg domeniul

de definiție iar următorul exercițiu

avem funcția f definită pe r cu

valori in r f de x egal cu x la

a treia plus 7 x plus 2 vă spuneam

în filmul precedent că există două

metode prin care putem să studiem

monotonia funcțiilor iar a doua

metodă presupune stabilirea semnului

raportului de variație asociat

funcției f Haide să aplicăm această

metodă pentru acest exercițiu alegem

Așadar două valori x 1 x 2 din

domeniul de definiție astfel încât

x 1 să fie mai mic decât x 2 și

vom calcula raportul f de x 1 minus

f de x 2 supra x 1 minus x 2 obținem

X1 la a treia plus 7 x 1 plus 2

minus x 2 la a treia minus 7 x

2 minus 2 totul supra X1 minus

X2 se reduce 2 cu minus noi avem

X1 la a treia minus X2 la a treia

plus 7 pe lângă x 1 minus x 2 supra

x 1 minus x 2 din descompunerea

această diferență X1 la a treia

minus x 2 la a treia în factori

folosind următoarea formulă a la

a treia minus de la a treia este

egal cu a minus b pe lângă a pătrat

plus ab plus de pătrat aceasta

este formula prin care putem Să

descompunem în factori diferența

cuburilor a două numere reale dacă

nu Știați această formulă o stii

si acum Prin urmare avem la numărător

x 1 minus x 2 pe lângă x 1 la pătrat

plus x 1 x 2 plus X2 la pătrat

plus 7 pe lângă x 1 minus x 2 supra

x 1 minus x 2 acum la numărător

dăm factor comun pe x 1 minus x

2 și simplificăm cu expresia de

la numitor în final obținem X1

la pătrat plus X1 X2 plus X2 la

pătrat plus 7 și acum ar trebui

să vedem Ce semn are această expresie

în forma în care este scrisă acum

nu putem să stabilim semnul ei

Așadar vom încerca să rescriem

această expresie ca un pătrat perfect

sau ca o sumă de pătrate perfecte

observăm că avem aici X1 la pătrat

și X2 la pătrat prin urmare ne

putem gândi la următoarea formula

de calcul prescurtat a plus b totul

la pătrat este egal cu a la a doua

plus doi a b plus b la a doua observăm

că cele două relații se aseamănă

puțin însă în această formulă avem

factorul 2 din fața produsului

ab iar Aici lipsește acest Factor

prin urmare pentru a putea restrânge

această sumă folosind această formulă

de calcul prescurtat ar trebui

ca unul dintre acești termeni X1

sau X2 să aibă numitorul 2 pentru

că având numitorul 2 în momentul

în care efectuând produsul 2 ab

adică 2 x 1 x 2 se simplifică 2

și aici rămâne X1 X2 Așadar vom

scrie suma primilor trei termeni

astfel x 1 pe 2 plus x 2 totul

la pătrat și acum să vedem dacă

trebuie să mai adunăm sau să scădem

niște termeni Haideți să calculăm

aceeași sumă x 1 pe 2 plus x 2

totul la pătrat obținem X1 la a

doua pe 4 plus 2x 1 pe 2 x 2 plus

X2 la pătrat se simplifică doi

cu doi aceasta era și ideea rămâne

X1 X2 cum avem și aici X2 la pătrat

este ok Ca și mai sus însă aici

avem X1 la a doua pe 4 iar în expresia

inițială aveam X1 la pătrat asta

înseamnă că trebuie să mai adunăm

termenul 3 x 1 la pătrat supra

4 pentru că adunând X1 la pătrat

pe 4 cu 3 X1 la pătrat pe 4 obținem

4 x 1 la pătrat pe 4 se simplifică

4 și în final ne rămâne X1 la a

doua Deci exact ce avem aici Așadar

aici mai trebuie să adunăm trei

X1 la pătrat pe patru și mai avem

acel 7 Ați înțeles ceva bun să

continuăm atunci aici avem un pătrat

perfect deci acest număr este pozitiv

aici avem X1 la pătrat prin urmare

și acest termeni este pozitiv la

care se mai adună și numărul 7

prin urmare toată această expresie

va fi strict pozitivă asta înseamnă

că este mai mare decât 0 Deci raportul

de variație a funcției este pozitiv

prin urmare funcția f este strict

crescătoare și un ultim exercițiu

avem funcția f definită pe intervalul

închis minus 36 cu valori in r

f de x egal cu 2 plus x pătrat

alegem două valori arbitrare X1

X2 din intervalul minus 36 astfel

încât x 1 să fie mai mic decât

x 2 să calculăm f de x 1 minus

f de x 2 mm 2 plus X1 la pătrat

minus 2 minus X2 la pătrat și obținem

X1 la pătrat minus X2 la pătrat

acum descompunem în factori x 1

minus x 2 pe lângă x 1 plus x 2

știind că x 1 minus x 2 este negativ

pentru că x 1 este mai mic decât

x 2 însă nu putem preciza semnul

acestei sume x 1 plus x 2 Pentru

că X1 și X2 pot să fie numere atât

pozitive cât și negative Așadar

nu putem să stabilim monotonia

funcției pe întreg domeniul de

definiție pe intervalul minus 36

Și atunci vom lua restricția aceste

funcții la intervalul minus 3 0

și apoi la intervalul 06 Așadar

nu stabilim monotonia funcției

pe intervale de monotonie în primul

caz vom considera X1 și X2 din

intervalul minus 3 0 astfel încât

x 1 să fie strict mai mic decât

x 2 în acest caz numerele x 1 și

2 sunt negative sau X2 ar putea

fi și zero însă Oricum este mult

mai ușor să stabilim semnul acestei

sume așa dar e de x 1 minus f de

x 2 este egal cu x 1 minus x 2

pe lângă x 1 plus x 2 această diferență

este negativă și suma x 1 plus

x 2 este negativă iar dacă X2 ar

fi 0 x 1 fiind negativ atunci această

sumă este negativă produsul este

pozitiv Așadar f de x 1 este mai

mare decât f de x 2 din moment

ce funcție f schimbă relația de

ordine dintre argumente pentru

valorile înseamnă că f este strict

descrescătoare pe intervalul minus

trei zero să vedem ce se întâmplă

în cazul în care x 1 x 2 aparțin

intervalului 0 6 astfel încât x

1 să fie mai mic decât x 2x 1 minus

fdx 2 este egal quixx 1 minus x

2 pe lângă x 1 plus x 2 diferența

Rămâne în continuare negativă însă

X1 X2 sunt numere pozitive așa

dar această sumă este pozitivă

produsul final va fi negativ De

ce de x 1 este mai mic decât f

de x doi de aici putem să tragem

concluzia că funcția f este strict

crescătoare pe intervalul 0 6 Așadar

să reținem că atunci când nu putem

stabili monotonia funcției pe întreg

domeniul de definiție am studiat

monotonia funcției pe intervale

de monotonie