Relații între funcții trigonometrice ale unui unghi
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în această lecție o să deducem
formula fundamentală a trigonometriei
apoi o să vedem câteva formule
trigonometrice pentru unghiurile
complementare urmând ca în partea
a doua a clipului Să demonstrăm
câteva relații între funcțiile
trigonometrice ale unui unghi avem
triunghiul dreptunghic ABC și am
notat măsura unghiului b cu x atunci
o să avem sinus de x este egal
cu b supra a la patru dintre cateta
opusă și ipotenuză cosinus de x
este c supra a tangentă de x este
b supra c iar cotangentă de x este
c supra b dacă ridicăm la pătrat
primele două relații și ransom
o să obținem că sinus pătrat de
x plus cosinus pătrat de x este
egal cu b supra a totul la pătrat
plus c supra a totul la pătrat
egal mai departe cu b pătrat plus
c pătrat supra a pătrat dar b pătrat
plus c pătrat este egal cu a la
pătrat conform teoremei lui Pitagora
acum se simplifică a pătrat cu
a pătrat și ne rămâne unul așa
dar am obținut relația ținut pătrat
de x plus cosinus pătrat de x este
egal cu 1 iar aceasta este formula
fundamentală a trigonometriei să
vedem în continuare câteva formule
trigonometrice pentru unghiurile
complementare observăm că unghiurile
b și c sunt complementare Deci
măsura unghiului b plus măsura
unghiului c este egală cu pi supra
2 radiani de aici obținem că c
este egal cu pi supra 2 minus x
sinusul unghiului c este cateta
opusă supra ipotenuză adică ce
supra a Dar ce supra a este cosinus
de x prin urmare sinus de pi supra
2 minus x egal cu cosinus de x
dacă vrem să exprimăm acum cosinusul
unghiului c acesta va fi egal cu
b supra a dar b supra a este sinus
de x prin urmare cosinus de pi
supra 2 minus x va fi egal cu sinus
de x aceste formule sunt valabile
pentru orice x număr real de asemenea
putem să exprimăm și tangenta cotangenta
tangenta unghiului si va fi raportul
dintre cateta opusă și cateta alăturată
unghiului c Adică o să avem c supra
b Deci tangentă de ce este egal
cu c supra b dar c supra b este
cotangentă de x prin urmare tangentă
de pi supra 2 minus x este egal
cu cotangentă de x de asemenea
putem exprimat și cotangenta unghiului
c vom obține b supra c iar b supra
c este tangentă de x Așadar o tangentă
de pi supra 2 minus x este egal
cu tangentă de x prima relație
are loc pentru orice x real diferit
de Capi Deci fără multiplii întregi
de pai iar a doua relație are loc
pentru orice x real dar x trebuie
să fie diferit de 2k plus 1 supra
2 tangenta există atunci când x
ia valori reale dar fără multipli
impari de pi supra 2 acestea sunt
formulele trigonometrice pentru
unghiurile complementare pe care
este bine să le rețineți iar în
continuare O să stabilim câteva
relații între funcțiile trigonometrice
ale aceluiași unghi mă știți deja
că tangentă de x este sinus de
x supra cosinus de x cotangentă
este raportul dintre cosinus și
sinus și atunci putem să deducem
că tangentă de x este 1 supra cotangentă
iar cotangentă de x va fi egal
cu 1 supra tangentă de x în continuare
ne propunem să găsim câteva formule
pentru a exprima sinus de x în
funcție de cosinus tangentă și
cotangentă și exerciții în care
ni se dă de exemplu tangenta unghi
și trebuie să aflăm sinusul apoi
vom stabili câteva formule pentru
a exprima cosinus în funcție de
sinus tangentă și cotangentă apoi
tangenta în funcție de sinus cosinus
și cotangentă și cotangentă de
x în funcție de sinus cosinus și
tangentă de x pentru a exprima
sinus de x în funcție de cosinus
o să pornim de la Formula fundamentală
a trigonometriei știind că sinus
pătrat de x plus cosinus pătrat
de x este egal cu 1 atunci sinus
pătrat de x va fi egal cu 1 minus
cosinus pătrat de x Deci sinus
de x este egal cu radical din 1
minus coș pătrat de x însă această
valoare poate să fie pozitivă sau
negativă în funcție de cadranul
în care este situat unghiul x Iată
a stabilit o formulă prin care
putem să exprimăm sinusul unui
unghi în funcție de cosinus în
continuare vom de duce o formulă
pentru a scrie sinusul în funcție
de tangentă iar pentru aceasta
a pornind de la această relație
scrisă mai sus Avem că tangentă
de x este egal cu sinus de x supra
cosinus de x ridicăm la pătrat
această relație și avem tangentă
pătrată de x egal cu SIM pătrat
de x iar în loc de cosinus pătrat
de x Putem să scriem 1 minus sinus
pătrat de x acum înmulțim pe diagonală
și avem tangentă pătrată de x minus
tangentă pătrată de x ori sinus
pătrat de x egal cu sinus pătrat
de x tangentă pătrată de x va fi
egal cu sinus pătrat de x pe lângă
1 plus tangentă pătrată de x am
trecut termenul acesta în membrul
Drept și am dat factor comun pe
sinus pătrat de x de aici putem
deduce că sinus de x este radical
din tangentă pătrată de x adică
tangentă de x supra radical din
1 plus tangentă pătrată de x în
fața radicalului putem să avem
plus sau minus în funcție de cadranul
în care este situată unghiul x
iată că am găsit și o formulă prin
care putem să exprimăm sinusul
unui unghi în funcție de tangentă
și acum vom stabili o relație prin
care putem să exprimăm sinus în
funcție de cotangenta unui unghi
o să șterg aici pornind de la această
relație scrise mai sus cotangentă
de x este cosinus supra sinus ridicăm
la pătrat aceasta egalitate și
avem cotangentă pătrată de x egal
cu coș pătrat de x supra sim pătrat
de x m se scrie m ce nu sună funcție
de cotangentă Deci la numărător
în loc de cosinus pătrat de x vom
scrie 1 minus sim pătrat de x supra
sinus pătrat de x înmulțim pe diagonală
avem cotangentă pătrată de x ori
sinus pătrat de x egal cu 1 minus
sinus pătrat de x trec termenul
acesta membrul stâng și apoi îl
dăm factor comun și avem simt pătrat
de x pe lângă cotangentă pătrată
de x plus 1 este egal cu unu de
aici exprimăm sinus de x o să avem
sin de x egal cu 1 supra plus minus
radical din 1 plus cotangentă pătrată
de x Iată am găsit și o relație
prin care putem să exprimăm sinusul
în funcție de cotangentă pentru
a exprima cosinus în funcție de
sinus tangentă și cotangentă se
procedează în mod Analog așa că
nu o să mai fac și aceste calcule
trecem la tangentă în funcție de
sinus știm că tangenta este raportul
dintre sinus și cosinus și avem
tangentă de x egal cu sinus de
x supra în loc de cosinus avem
plus minus radical din 1 minus
sin pătrat de x aceasta va fi formula
prin care putem să exprimăm tangenta
în funcție de sinus unui unghi
pentru a exprima tangenta funcție
de cosinus vom înlocui sinusul
de la numărător Deci avem tangentă
de x egal în loc de sinus de x
avem plus minus radical din 1 minus
coș pătrat de x supra cosinus de
x aceasta va fi formula prin care
exprimă în tangenta în funcție
de cosinus ia tangenta în funcție
de cotangentă am văzut mai devreme
avem tangentă de x egal 1 supra
cotangentă de x pentru a d duse
formulele prin care se exprimă
cotangenta în funcție de sinus
cosinus și tangentă se procedează
în mod Analog așa că nu o să mai
insist și cu aceste calcule în
continuare am scris aceste formule
sub forma unui tabel pe care este
bine să le rețineți dacă totuși
nu reușise memorați aceste formule
atunci ele se pot deduce urmând
pașii pe care am prezentat în acest
clip