Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Teorema lui Weierstrass - demonstrație

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
2 voturi 4 vizionari
Puncte: 10

Transcript



în acest videoclip voi folosi proprietatea

lui va extrage pentru a studia

convergența unui șir dat prin termenul

său general avem următorul exercițiu

să se studiază convergență șirului

cu termenul general a n egal cu

1 supra 1 la pătrat plus 1 supra

2 la pătrat plus puncte puncte

puncte plus 1 supra n pătrat să

scriem câțiva termeni ai șirului

obținem a 1 egal cu 1 supra 1 la

pătrat adică a unui este egal cu

unu a doi va fi 1 supra 1 la pătrat

plus 1 supra 2 la pătrat adică

va fi 1 plus 1 pe 4 este 5 supra

4-a 3 este 1 supra 1 la pătrat

plus 1 supra 2 la pătrat plus 1

supra 3 la pătrat adică este 1

plus 1 pe 4 plus 1 pe 9 Dacă aducem

aici la numitor comun obținem 49

supra 36 pentru că exercițiul ne

ceară să studiem convergența șirului

verificăm dacă putem folosi teorema

lui weierstrass teorema sau proprietatea

lui viar strasni spun așa dacă

x n este un șir monoton crescător

și mărginit superior atunci el

este convergent respectiv dacă

x n i este un șir monoton descrescător

și mărginit inferior atunci el

este convergent acești prin termeni

ai șirului ne arată că există șanse

ca acest șir să fie monoton crescător

înseamnă că ceea ce ne propunem

în continuare Ia stai să verificăm

dacă șirul a n este monoton crescător

și mărginit superior În condițiile

în care putem D monstră monotonia

și mărginirea atunci putem trage

concluzia că șirul an este un șir

convergent vom începe ai fost odion

monotoniei să ne reamintim ca un

șir este motan dacă el este motan

crescător sau monotoni descrescător

un șir este monotona crescator

dacă și numai dacă x n îi mai mic

sau egal cu x n plus 1 pentru orice

n din n stelat cu alte cuvinte

dacă diferența dintre exemplu 1

și x n este mai mare sau egală

cu 0 pentru orice n din n stelat

similar șirul este motan descrescător

dacă xn îi mai mare sau egal cu

x n plus 1 pentru orice n din n

stelat Adică dacă diferența dintre

exemplu S1 și x este negativă pentru

orice n din n stelat Deci pentru

a verifica monotonia unui șir este

suficient să calculăm diferența

dintre x n plus 1 și x n dacă această

diferență este mai mare sau egală

cu 0 pentru orice n atunci șirul

este monotonă crescător dacă această

diferență este mai mică decât 0

pentru orice n atunci șirul este

monotona descrescător de aici calculăm

diferența dintre a n plus 1 și

a n obținem 1 supra 1 la pătrat

plus 1 supra 2 la pătrat plus puncte

puncte plus 1 supra n la pătrat

plus 1 supra n plus 1 la pătrat

a n este 1 supra 1 la pătrat plus

1 supra 2 la pătrat plus puncte

puncte puncte plus 1 supra n la

patrat înseamnă că a n plus 1 trebuie

să meargă cu pătratele numitorilor

până la n plus 1 la pătrat Mi Note

și apoi mai scriu pe ei in Adică

1 supra 1 la pătrat plus 1 supra

2 la pătrat plus plus 1 supra n

la pătrat desfac paranteză și obținem

1 supra 1 la pătrat plus 1 supra

2 la pătrat plus plus 1 supra n

la pătrat plus 1 supra n plus 1

la pătrat și acum toți termenii

din paranteză vor avea semnul minus

în față adică voi avea minus 1

supra 1 la pătrat minus 1 supra

2 la patrat minus minus 1 supra

n pătrat toți termenii până la

1 supra n pătrat se vor reduce

înseamnă că diferența este egală

de fapt cu 1 supra n plus 1 la

pătrat care este Evident un număr

chiar mai mare strict decât 0 de

șirul a n este un șir strict crescător

Deci prima condiție din ipoteza

proprietății lui viar Strasse este

verificată șirul este monotona

crescator mai trebuie să verificăm

dacă este mărginit superior reamintesc

că un șir acson este mărginit superior

Dacă și numai dacă există un număr

real la notat cu A mare astfel

încât toți termenii șirului să

fie mai mici sau egali cu acest

M mare Analog x n este mărginit

inferior Dacă și numai dacă există

un număr real a mic a astfel încât

x n mai mare sau egal cu m mic

pentru orice n din n stea adică

toți termenii șirului sunt mai

mari sau egale cu m mic pe noi

ne interesează mărginirea superioară

pentru că am arătat că șirul este

strict crescător Deci trebuie să

găsim un număr real m astfel încât

a n să fie mai mic sau egal decât

acel număr este greu de spus cine

ar putea să fie acel numar real

m am văzut că A1 este egal cu 1

a 2 este egal cu 5 supra 4 adică

cu 1 a 3 este 49 supra 36 adică

1 și mai sunt niște cifră după virgulă

Deci probabil ca a n va fi mai

mic decât 2 dar nu știm sigur anie

este 1 supra 1 la pătrat plus 1

supra 2 la pătrat plus 1 supra

n la pătrat adică ia Asta e unu

plus 1 pe 2 la a doua plus 1 pe

3 la a doua plus 1 supra n la pătrat

dacă suma din această paranteză

este mai mare decât 1 atunci a

n va fi mai mare decât doi dacă

suma din această paranteză este

mai mică decât 1 atunci a n va

fi mai mic decât doi și atunci

pentru a compara suma din această

paranteză cu 1 vom vedea dacă putem

să le încadrăm pe 1 supra n pătrat

pentru că dacă vom putea găsi un

număr care să fie mai mare decât

1 supra n pătrat vom putea găsi

un număr care să fie mai mare și

decât 1 supra 2 la a doua sau unu

supra trei la a doua și așa mai

departe m pătrat este egal cu n

ori n în mod evident și știm sigur

că n este mai mare decât în minus

1 și asta e adevărat pentru orice

n din ăstalalt pentru că m pătrat

este mai mare decât n pe lângă

n minus 1 rezultă că a 1 supra

n pătrat este mai mic decât 1 supra

n pe lângă n minus unu am inversat

cele două numere și atunci mai

mare devine mai mic și aceasta

inegalitate îi adevărată pentru

orice n mai mare sau egal cu 2

număr natural n are voie să mi

se anuleze numitorul Dacă Ana ar

fi 1 atunci aș avea aici zero și

acum să luăm fracția 1 supra n

pe lângă n minus 1 această fracție

este egală cu 1 supra n minus 1

minus 1 supra n pentru că dacă

am aduce la același numitor aici

ar trebui să amplificăm cu MN aici

cu n minus 1 și am obține n minus

paranteză n minus 1 supra n pe

lângă n minus unu adică ar fi egale

cu n minus n plus 1 supra n pe

lângă n minus unu Deci este adevărată

aceasta egalitate și atunci în

această inegalitate voi înlocui

1 supra n pe lângă n minus unu

Cu unu supra n minus 1 minus 1

supra n obținem 1 supra n pătrat

mai mic decât 1 supra n minus 1

minus 1 supra n pentru orice n

natural mai mare sau egal cu 2

dacă această inegalitate este adevărată

pentru orice n mai mare sau egal

cu 2 am să o scriu pentru n egal

cu 2 pentru n egal cu 3 pentru

n egal cu 4 și așa mai departe

voi obține 1 supra 2 la a doua

mai mic decât 1 supra 2 minus 1

adică 1 minus 1 supra 2 acum le

iau pe an egal cu trei unu supra

trei la a doua este mai mic decât

1 supra 3 minus 1 adică 2 minus

1 supra 3 acum le iau pe an egal

cu 4 1 supra 4 la a doua este mai

mic decât 1 supra 4 minus unu care

este 3 minus 1 supra 4 și continui

să scriu această inegalitate pentru

numerele naturale până la en Deci

Ultima relație de inegalitate va

fi 1 supra m pătrat mai mic decât

1 supra n minus 1 minus 1 supra

n adunăm acum acestea inegalități

membru cu membru Si atunci în membrul

stâng vom obține suma 1 pe 2 la

a doua plus 1 pe 3 la a doua plus

1 pe 4 la a doua și așa mai departe

plus 1 pe n la a doua mai mic decât

și acum adunăm toți termenii din

membrul drept al fiecărei inegalități

și vom obține 1 supra 1 adică 1

minus 1 pe 2 plus 1 pe 2 minus

1 pe 3 plus 1 pe 3 și așa mai departe

plus 1 pe n minus 1 minus 1 supra

n aici De fapt am avea minos caror

ma minus 1 pe 4 observăm că în

membrul drept al acestei inegalități

să reduc mulți termeni adică minus

1 pe 2 plus 1 pe 2 minus 1 pe 3

cu plus 1 pe 3 1 pe n minus 1 se

reduce cu un minus 1 pe n minus

1 și a fost anterior și în final

aceasta inegalitate de vină 1 supra

2 la a doua plus 1 supra 3 la a

doua 9 1 supra n la a doua mai

mic decât 1 minus 1 pe an am arătat

că suma din această paranteză este

mai mică decât 1 minus 1 pe an

înseamnă că a n va fi mai mic decât

1 plouă 1 minus 1 pe n care este

egal cu 2 minus 1 pe an și pentru

că din 2 scădem o cantitate pozitivă

1 pe an fiind pozitiv ne rezulta

ca a n va fi mai mic decât doi

Deci am arătat că șirul a n este

mărginit superior am arătat că

șirul a n este strict crescător

am arătat ca șirul a n este mărginit

superior înseamnă că a pe baza

proprietății lui viar stress rezulta

ca a n este un șir convergent

Proprietatea lui WeierstrassAscunde teorie X

Teoremă (Proprietatea lui Weierstrass). Orice şir monoton şi mărginit este convergent.
  • Dacă \left ( x_{n} \right )  este un şir crescător şi mărginit superior, atunci \left ( x_{n} \right )  este convergent.
  • Dacă \left ( x_{n} \right )  este un şir descrescător şi mărginit inferior, atunci \left ( x_{n} \right )  este convergent.
Proprietatea lui Weierstrass conduce la următorul rezultat:
Lema lui Cesaro. Orice şir mărginit conţine cel puţin un subşir convergent.
Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2024 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri