Teorema lui Weierstrass - demonstrație
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
în acest videoclip voi folosi proprietatea
lui va extrage pentru a studia
convergența unui șir dat prin termenul
său general avem următorul exercițiu
să se studiază convergență șirului
cu termenul general a n egal cu
1 supra 1 la pătrat plus 1 supra
2 la pătrat plus puncte puncte
puncte plus 1 supra n pătrat să
scriem câțiva termeni ai șirului
obținem a 1 egal cu 1 supra 1 la
pătrat adică a unui este egal cu
unu a doi va fi 1 supra 1 la pătrat
plus 1 supra 2 la pătrat adică
va fi 1 plus 1 pe 4 este 5 supra
4-a 3 este 1 supra 1 la pătrat
plus 1 supra 2 la pătrat plus 1
supra 3 la pătrat adică este 1
plus 1 pe 4 plus 1 pe 9 Dacă aducem
aici la numitor comun obținem 49
supra 36 pentru că exercițiul ne
ceară să studiem convergența șirului
verificăm dacă putem folosi teorema
lui weierstrass teorema sau proprietatea
lui viar strasni spun așa dacă
x n este un șir monoton crescător
și mărginit superior atunci el
este convergent respectiv dacă
x n i este un șir monoton descrescător
și mărginit inferior atunci el
este convergent acești prin termeni
ai șirului ne arată că există șanse
ca acest șir să fie monoton crescător
înseamnă că ceea ce ne propunem
în continuare Ia stai să verificăm
dacă șirul a n este monoton crescător
și mărginit superior În condițiile
în care putem D monstră monotonia
și mărginirea atunci putem trage
concluzia că șirul an este un șir
convergent vom începe ai fost odion
monotoniei să ne reamintim ca un
șir este motan dacă el este motan
crescător sau monotoni descrescător
un șir este monotona crescator
dacă și numai dacă x n îi mai mic
sau egal cu x n plus 1 pentru orice
n din n stelat cu alte cuvinte
dacă diferența dintre exemplu 1
și x n este mai mare sau egală
cu 0 pentru orice n din n stelat
similar șirul este motan descrescător
dacă xn îi mai mare sau egal cu
x n plus 1 pentru orice n din n
stelat Adică dacă diferența dintre
exemplu S1 și x este negativă pentru
orice n din n stelat Deci pentru
a verifica monotonia unui șir este
suficient să calculăm diferența
dintre x n plus 1 și x n dacă această
diferență este mai mare sau egală
cu 0 pentru orice n atunci șirul
este monotonă crescător dacă această
diferență este mai mică decât 0
pentru orice n atunci șirul este
monotona descrescător de aici calculăm
diferența dintre a n plus 1 și
a n obținem 1 supra 1 la pătrat
plus 1 supra 2 la pătrat plus puncte
puncte plus 1 supra n la pătrat
plus 1 supra n plus 1 la pătrat
a n este 1 supra 1 la pătrat plus
1 supra 2 la pătrat plus puncte
puncte puncte plus 1 supra n la
patrat înseamnă că a n plus 1 trebuie
să meargă cu pătratele numitorilor
până la n plus 1 la pătrat Mi Note
și apoi mai scriu pe ei in Adică
1 supra 1 la pătrat plus 1 supra
2 la pătrat plus plus 1 supra n
la pătrat desfac paranteză și obținem
1 supra 1 la pătrat plus 1 supra
2 la pătrat plus plus 1 supra n
la pătrat plus 1 supra n plus 1
la pătrat și acum toți termenii
din paranteză vor avea semnul minus
în față adică voi avea minus 1
supra 1 la pătrat minus 1 supra
2 la patrat minus minus 1 supra
n pătrat toți termenii până la
1 supra n pătrat se vor reduce
înseamnă că diferența este egală
de fapt cu 1 supra n plus 1 la
pătrat care este Evident un număr
chiar mai mare strict decât 0 de
șirul a n este un șir strict crescător
Deci prima condiție din ipoteza
proprietății lui viar Strasse este
verificată șirul este monotona
crescator mai trebuie să verificăm
dacă este mărginit superior reamintesc
că un șir acson este mărginit superior
Dacă și numai dacă există un număr
real la notat cu A mare astfel
încât toți termenii șirului să
fie mai mici sau egali cu acest
M mare Analog x n este mărginit
inferior Dacă și numai dacă există
un număr real a mic a astfel încât
x n mai mare sau egal cu m mic
pentru orice n din n stea adică
toți termenii șirului sunt mai
mari sau egale cu m mic pe noi
ne interesează mărginirea superioară
pentru că am arătat că șirul este
strict crescător Deci trebuie să
găsim un număr real m astfel încât
a n să fie mai mic sau egal decât
acel număr este greu de spus cine
ar putea să fie acel numar real
m am văzut că A1 este egal cu 1
a 2 este egal cu 5 supra 4 adică
cu 1 a 3 este 49 supra 36 adică
1 și mai sunt niște cifră după virgulă
Deci probabil ca a n va fi mai
mic decât 2 dar nu știm sigur anie
este 1 supra 1 la pătrat plus 1
supra 2 la pătrat plus 1 supra
n la pătrat adică ia Asta e unu
plus 1 pe 2 la a doua plus 1 pe
3 la a doua plus 1 supra n la pătrat
dacă suma din această paranteză
este mai mare decât 1 atunci a
n va fi mai mare decât doi dacă
suma din această paranteză este
mai mică decât 1 atunci a n va
fi mai mic decât doi și atunci
pentru a compara suma din această
paranteză cu 1 vom vedea dacă putem
să le încadrăm pe 1 supra n pătrat
pentru că dacă vom putea găsi un
număr care să fie mai mare decât
1 supra n pătrat vom putea găsi
un număr care să fie mai mare și
decât 1 supra 2 la a doua sau unu
supra trei la a doua și așa mai
departe m pătrat este egal cu n
ori n în mod evident și știm sigur
că n este mai mare decât în minus
1 și asta e adevărat pentru orice
n din ăstalalt pentru că m pătrat
este mai mare decât n pe lângă
n minus 1 rezultă că a 1 supra
n pătrat este mai mic decât 1 supra
n pe lângă n minus unu am inversat
cele două numere și atunci mai
mare devine mai mic și aceasta
inegalitate îi adevărată pentru
orice n mai mare sau egal cu 2
număr natural n are voie să mi
se anuleze numitorul Dacă Ana ar
fi 1 atunci aș avea aici zero și
acum să luăm fracția 1 supra n
pe lângă n minus 1 această fracție
este egală cu 1 supra n minus 1
minus 1 supra n pentru că dacă
am aduce la același numitor aici
ar trebui să amplificăm cu MN aici
cu n minus 1 și am obține n minus
paranteză n minus 1 supra n pe
lângă n minus unu adică ar fi egale
cu n minus n plus 1 supra n pe
lângă n minus unu Deci este adevărată
aceasta egalitate și atunci în
această inegalitate voi înlocui
1 supra n pe lângă n minus unu
Cu unu supra n minus 1 minus 1
supra n obținem 1 supra n pătrat
mai mic decât 1 supra n minus 1
minus 1 supra n pentru orice n
natural mai mare sau egal cu 2
dacă această inegalitate este adevărată
pentru orice n mai mare sau egal
cu 2 am să o scriu pentru n egal
cu 2 pentru n egal cu 3 pentru
n egal cu 4 și așa mai departe
voi obține 1 supra 2 la a doua
mai mic decât 1 supra 2 minus 1
adică 1 minus 1 supra 2 acum le
iau pe an egal cu trei unu supra
trei la a doua este mai mic decât
1 supra 3 minus 1 adică 2 minus
1 supra 3 acum le iau pe an egal
cu 4 1 supra 4 la a doua este mai
mic decât 1 supra 4 minus unu care
este 3 minus 1 supra 4 și continui
să scriu această inegalitate pentru
numerele naturale până la en Deci
Ultima relație de inegalitate va
fi 1 supra m pătrat mai mic decât
1 supra n minus 1 minus 1 supra
n adunăm acum acestea inegalități
membru cu membru Si atunci în membrul
stâng vom obține suma 1 pe 2 la
a doua plus 1 pe 3 la a doua plus
1 pe 4 la a doua și așa mai departe
plus 1 pe n la a doua mai mic decât
și acum adunăm toți termenii din
membrul drept al fiecărei inegalități
și vom obține 1 supra 1 adică 1
minus 1 pe 2 plus 1 pe 2 minus
1 pe 3 plus 1 pe 3 și așa mai departe
plus 1 pe n minus 1 minus 1 supra
n aici De fapt am avea minos caror
ma minus 1 pe 4 observăm că în
membrul drept al acestei inegalități
să reduc mulți termeni adică minus
1 pe 2 plus 1 pe 2 minus 1 pe 3
cu plus 1 pe 3 1 pe n minus 1 se
reduce cu un minus 1 pe n minus
1 și a fost anterior și în final
aceasta inegalitate de vină 1 supra
2 la a doua plus 1 supra 3 la a
doua 9 1 supra n la a doua mai
mic decât 1 minus 1 pe an am arătat
că suma din această paranteză este
mai mică decât 1 minus 1 pe an
înseamnă că a n va fi mai mic decât
1 plouă 1 minus 1 pe n care este
egal cu 2 minus 1 pe an și pentru
că din 2 scădem o cantitate pozitivă
1 pe an fiind pozitiv ne rezulta
ca a n va fi mai mic decât doi
Deci am arătat că șirul a n este
mărginit superior am arătat că
șirul a n este strict crescător
am arătat ca șirul a n este mărginit
superior înseamnă că a pe baza
proprietății lui viar stress rezulta
ca a n este un șir convergent