Teoreme de paralelism. Aplicații

să facem acum câteva aplicații

folosind teoremele de paralelism

cum am spus că demonstrăm că două

plane sunt paralele pe avem această

teoremă dacă un plan conține două

drepte concurente paralele cu un

alt plan atunci cele două plane

sunt paralele Deci dacă planul

alfa conține două drepte concurente

și aceste două drepte a și b sunt

paralele cu planul Beta înseamnă

că planul alfa a paralel cu Beta

în probleme vom proceda puțin diferit

și anume ca Să arătăm că planele

Alfa și Beta sunt paralele vom

arăta că planul alfa are două drepte

concurente paralele cu alte două

drepte concurente din planul Beta

Și de aici rezultă că el fie paralel

cu Beta Păi unde sa vedem dacă

e adevărat Deci dacă avem așa dreapta

a paralelă cu dreapta d și dreapta

b paralelă cu dreapta c rezultă

oare Să scriem aici rezultă oare

Că planele Alfa și Beta sunt plane

paralele Păi Haideți să ne gândim

puțin ca să facem și legătura cu

această teoremă dacă a este paralelă

cu d dreapta Paralelă cu dreapta

d dreapta d inclusă în acest plan

venit și trece mai dreapta d inclusă

în betex Pe o dreaptă paralelă

cu o altă dreaptă dintre un plan

înseamnă că este paralelă cu planul

Deci dreapta e paralelă cu planul

Beta rezultă că a e paralelă cu

Betta acum dreapta b paralelă cu

dreapta c b paralelă cu c c este

inclusă în Betta si vom nota că

dreapta d este și ea paralelă cu

planul Beta dreapta b paralelă

cu Beta și noi mai știm că dreptele

a și b sunt drepte concurente de

a intersectat cu b și avem aici

punctul de concurență Este A păi

avem două drepte a și b concurente

care sunt paralele cu planul Beta

pe axa Ce scrie aici în teoremă

două drepte concurente paralele

cu un alt plan înseamnă că cele

două plane sunt paralele Deci din

aceste relații din aceste trei

aceasta aceasta și aceasta rezultă

că planele Alfa și Beta sunt paralele

O să vedeți că în exerciții mai

ușor să folosim această observație

decât să folosim această teoremă

Deci vom arăta că dacă un plan

are două drepte concurente care

sunt paralele cu alte două drepte

concurente dintru Norton înseamnă

că cele două plane sunt paralele

acum de ce e nevoie ca cele două

drepte c și d să fie concurentei

de Siri nu pot fi paralele sau

confundate Păi de vreme ce vorbim

de drepte coplanare c și d sunt

în același plan înseamnă că avem

doar aceste posibilități ele sunt

fie confundate confundate fie sunt

drepte paralele adică Haide să

scriu așa paralele adică ce paralel

cu d asta în situația în care ele

nu sunt drepte concurente Deci

dacă ar fi drepte paralele Haide

să vedem avem aici Ce știi e d

c și d Păi ce am obține în asemenea

situație noi avem că a este paralelă

cu d deci a paralelă cu d b este

paralelă cu c d paralelă cu c pa

Și din această relație cu ce paralelă

cu d înseamnă că dreptele a și

b sunt drepte paralele ceea ce

contrazice ipoteza noastră cum

că a și b sunt drepte concurente

la fel se întâmplă și dacă ele

ar fi confundate Deci din această

cauză se pune condiția ca cele

două drepte c și d să fie întradevăr

drepte concurente să aibă un punct

de intersecție și acum Haideți

să facem și o aplicație avem cubul

a b c d a prim b prim c prim D

prim și vrem să arătăm că planul

a prim d b este paralel cu planul

D prim b prim c Deci planul a prim

d b lungimea apoi pe d cu b pe

a prim cu b nu se vede foarte clar

că no să ne vom descurca și acest

plan Să arătăm că e paralel cu

planul D prim b prim și mai avem

punctul C unim acum d prim Cu ce

Cum facem Să arătăm că cele două

plane sunt paralele Păi trebuie

să arătăm că două drepte concurente

din acest plan sunt paralele cu

alte două drepte concurente din

acest plan și ca să identificăm

mai ușor ce drepte să folosim Cum

folosim un alt cub casă nu încărcăm

aici notația oricum nu se văd foarte

bine planele un și să găsim o dreaptă

din acest plan care să fie paralelă

cu o dreaptă din acest plan pe

dreapta d prim b prim este paralelă

cu ce dreaptă cu dreapta d care

face parte din primul plan de ce

avem paralelismul acestor două

drepte Păi d b b prim D prim Este

program de fapt el e chiar dreptunghi

însă e suficient Să arătăm că e

paralelogram ca Să arătăm că cele

două drepte sunt paralele Cum arătăm

că avem aici un paralelogram apoi

d d prim și b b prim d d prim și

b b prim sunt drepte paralele avem

un punct le segmentul d d prim

și segmentul b d prim sunt segmente

au lungimile egale d sunt segmente

congruente rezultă din proprietățile

paralelogramului că de B B prim

D prim este paralelogram și obținem

că DB este paralelă cu d prim b

prim și momentan păstrăm această

informație o subliniem pentru că

mai avem nevoie de alte două drepte

paralele una să facă parte din

acest și cealaltă din acesta Ce

drepte să alegem Păi Haideți să

șterg aici Iată dreapta ad pardon

a prim d este paralelă cu c dreaptă

cu b prim c De ce are loc această

relație de paralelism între cele

două drepte pentru că a prim b

prim c d este și el un paralelogram

de fapt și el este tot dreptunghi

însă vom scrie direct pentru că

a prim b prim demonstrația este

foarte asemănătoare cu ce am făcut

aici Cum folosim segmentele a prim

b prim și D c Deci devreme c a

prim b prim c d este paralelogram

rezultă că avem că a prim d este

ala cu b prim c și avem și această

relație am găsit aceste două relații

deci a prim d este paralelă cu

b prim c și mai avem că DB este

paralelă cu d prim D prim Cum sunt

cele două drepte cele două perechi

de drepte sunt drepte concurente

Haide să trecem aici că a prim

D Deci ce avem aici a prim b intersectată

cu d b Iată cu d b sunt două drepte

concurente punctul de intersecție

este d și b prim c este intersectată

cu d prim b prim punctul de intersecție

fiind punctul B prim din toate

aceste relații ce avem Avem două

drepte curente paralele cu alte

două drepte concurente dintre un

alt plan b c rezultă că cele două

plane sunt paralele deci a prim

d b paralel paralel cu d prim D

prim c ultima problemă este aceasta

și Alfa și Beta plane paralele

Deci Alfa și Beta sunt plane paralele

și dreptele B B prim și c c prim

intersectează planele Alfa și Beta

ca în figura dreapta b b prim intersectează

planele Alfa și Beta n b și b prim

și dreapta c c prim intersectează

în punctul C și în punctul c prim

dacă dreptele B B prim și c c prim

se intersectează în punctul A iar

Da e si punctul lor de intersecție

și b prim c prim are 20 de cm b

prim c prim chiar o să și trasăm

are 20 de cm trecem aici 20 cm

și a b supra a b prim a b supra

a b prim avem raportul 2 supra

5 trebuie să aflăm lungimea segmentului

BC adică ne interesează lungimea

acestui segment Cum să rezolvăm

această problemă vă las puțin timp

să vă gândiți Păi dreptele B B

prim și c c prim sunt drepte concurente

B B prim intersectat cu c c prim

avem punctul de intersecție a notat

în problema am are două drepte

concurente si determină determină

un plan unic Deci rezultă că există

gama plan adică planul determinat

dreptele B B prim și c c prim pun

planul gama de ce planul determinat

de aceste două drepte intersectează

planul alfa și planul Beta pe care

dreapta de intersecție a planelor

gama și Alfa Deci planul gama intersectat

cu planul alfa ce obținem pe punctul

C se află și în planul gama Da

dar se află și în planul alfa iar

punctul B la fel se află aparține

și planului gama și planului Alfa

asta înseamnă că dreapta de intersecție

a planelor Alfa știind că a ma

este dreapta BC absolut la fel

planul gama intersectează planul

Beta după ce dreaptă Păi după dreapta

b prim c prim Deci avem că planul

Gama Deci planul gama intersectează

planele Alfa și Beta după dreptele

b c b c și b prim c prim Ce știm

despre cele două plane Alfa și

Beta sunt plane paralele De fapt

ce trebuie să folosim Folosind

teorema fierăstrăului pentru că

avem aici două plane care sunt

tăiate de un al treilea plan asta

înseamnă că dreptele de intersecție

sunt drepte paralele Deci dreapta

c b paralelă cu b prim c prim rezultă

din teorema fierăstrăului că de

ce sau Ce becuri să îi spunem e

este paralelă cu b prim c prim

Deci avem că c b e paralelă cu

b prim c prim ce facem în continuare

Păi cum avem acest paralelism Ce

rezultă Păi Folosind definiția

asemănării rezultă din definiția

asemănării prescurtez astfel că

triunghiul c a b este asemenea

cu triunghiul c prim a b d și triunghiul

c a b este asemenea cu triunghiul

c prim a b prim pe asta înseamnă

că laturile acestor două triunghiuri

sunt proporționale și noi avem

nevoie de lungimea segmentului

BC mese de aici una porc și mai

avem lungimea segmentului b prim

c prim d și Problema e ca și rezolvată

rezultă Haide să scrie rapoartele

mai întâi putem să trecem laturile

triunghiului de sus a b supra va

fi egal cu AB BC și af ace și acum

să vedem ab latura AB este opusă

unghiului c care e congruent cu

unghiul c prim și unghiului c prim

se opune latura ab prim b c avem

a b supra a b prim BC iar unghiul

A e cu d c congruent cu unghiul

a d și d c avem supra b prim c

prim și na mai rămas a c prim și

acum să înlocuim noi avem nevoie

de lungimea segmentului BC bun

Deci avem nevoie de acest report

și mai cunoaștem acest raport a

b supra a b prim Deci luăm această

egalitate de rapoarte și trecem

direct rezultă 2 supra 5 egal cu

b c supra D prim c prim Este 20

de cm avem o proporție de unde

obținem că b Ce este egal cu 2

ori 20 supra 5 Deci vom obține

8 cm opt centimetri și acesta este

răspunsul trecem aici pe figură

8 cm