Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Numere raționale

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!

Teorie: Numere raționale Descarcă PDF

Numere raționale

Un număr rațional (o fracție) este un număr real care se poate exprima drept raportul a două numere întregi, de obicei scris sub formă de fracție ordinară: \frac{a}{b}, unde b este nenul. Numele "rațional" provine de la "rație"="raport".

Orice număr rațional se poate scrie într-o infinitate de forme, de exemplu  \frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=...
Forma cea mai simplă este cea în care a și b nu au divizori comuni; toate numerele raționale dispun de o asemenea formă.

Forma zecimală a unui număr rațional este într-un fel sau altul periodică (dacă expansiunea este finită, partea periodică o formează zerourile implicite de după ultima zecimală nenulă). Aceasta este adevărat pentru orice bază întreagă mai mare decât 1. Reciproc, dacă expansiunea unui număr într-o bază este periodică, atunci expansiunea sa în orice bază este periodică, și în plus numărul este rațional.

Mulțimea numerelor raționale se notează Q, sau, în varianta îngroșată, \mathbb{Q}. În notația analitică a mulțimilor, \mathbb{Q} se definește astfel:

\mathbb{Q}=\left \{\frac{m}{n}, m\epsilon \mathbb{Z},n\epsilon \mathbb{Z},n\neq 0 \right \}

Egalitatea numerelor raționale

Două numere raționale notate cu \frac{m}{n} și \frac{a}{b} sunt egale dacă fracțiile \frac{m}{n} și \frac{a}{b} sunt fracții echivalente, adică dacă m\ast b=n\ast a. Relația de egalitate în domeniul numerelor raționale are proprietățile:
  • reflexivitatea : a=a
  • simetria : a=b atunci b=a
  • tranzitivitatea : a=b și b=c atunci a=c

Relația de egalitate în domeniul numerelor raționale având proprietățile de reflexivitate, simetrie, tranzitivitate este o relație de echivalență.

Operații cu numere raționale

Adunarea
Suma a două numere raționale \frac{m}{n} și \frac{a}{b} este dată de fracția \left(mb+na\right)nb .

Proprietăți:
  • comutativitatea : a+b=b+a
  • asociativitatea : (a+b)+c=a+(b+c)
  • element neutru : a+0=0+a=a
  • elementul opus : a+(-a)=(-a)+a=0

Scăderea

Oricare ar fi numerele raționale a și b: a-b=a+(-b).

Deci, pentru a se scădea dintr-un număr rațional a un alt număr rațional b, se adună la numărul rațional a opusul numărului rațional b (-b).

Operația de scădere se poate efectua între oricare numere raționale.
  • Oricare ar fi a număr rațional: a-0=a respectiv 0-a=-a.
  • Oricare ar fi a, b ,c numere raționale dacă a=b atunci: a-c=b-c.
  • Oricare ar fi a, b, c, d numere raționale, dacă a=b și c=d atunci: a-c=b-d.

Înmulțirea

Prin produsul a doua numere raționale \frac{m}{n} și \frac{a}{b} se obține un al treilea număr rațional notat cu c astfel c=\frac{\left ( m\ast a \right )}{n\ast b} .

Proprietăți:
  • comutativitate : a*b=b*a
  • asociativitate : (a*b)*c=a*(b*c)
  • distributivitate : a*(b+c)=a*b+a*c
  • element neutru : a*1=1*a=a
  • element invers : a*(1/a)=(1/a)*a=1

Oricare ar fi a rațional: a*(-1)=(-1)*a=-a

Oricare ar fi a, b, c raționale: a*c=b*c

Împărțirea

Prin câtul a două numere raționale \frac{m}{n} și \frac{a}{b} cu a, b, n diferite de 0 se obține un al treilea număr rațional notat c astfel:

c=(m/n)/(a/b)=(m/n)*(b/a)

deci se înmulțește deîmpărțitul cu inversul împărțitorului.

Proprietăți:
  • a:1=a/1=a
  • 1:a=1/a=a-1
  • a:(-1)=a/(-1)=-a
  • (-1):a=(-1)/a=-a-1
  • 0:a=0/a=0
  • a=b atunci a:c=b:c sau a/c=b/c
  • a=b, c=d atunci a:c=b:d sau a/c=b/d

Dacă a și b sunt două numere raționale pozitive, prin media armonică, se înțelege numărul m, obținut astfel: m=2/[(1/a)+(1/b)]=(2ab)/(a+b)

Ridicarea la putere și extragerea de radicali

Puterile cu exponent natural și întreg ale numerelor raționale sunt tot numere raționale. Extragerea de radicali are ca rezultat numere iraționale în cazul numerelor raționale care nu sunt puteri perfecte ale altor numere raționale.

Navigare în lectii

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2021 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri