Numere raționale
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Memorator: Numere raționale Descarcă PDF
Un număr rațional (o fracție) este un număr real care se poate exprima drept raportul a două numere întregi, de obicei scris sub formă de fracție ordinară:
Orice număr rațional se poate scrie într-o infinitate de forme, de exemplu
Forma cea mai simplă este cea în care a și b nu au divizori comuni; toate numerele raționale dispun de o asemenea formă.
Forma zecimală a unui număr rațional este într-un fel sau altul periodică (dacă expansiunea este finită, partea periodică o formează zerourile implicite de după ultima zecimală nenulă). Aceasta este adevărat pentru orice bază întreagă mai mare decât 1. Reciproc, dacă expansiunea unui număr într-o bază este periodică, atunci expansiunea sa în orice bază este periodică, și în plus numărul este rațional.
Mulțimea numerelor raționale se notează Q, sau, în varianta îngroșată,
Egalitatea numerelor raționale
Două numere raționale notate cu
- reflexivitatea : a=a
- simetria : a=b atunci b=a
- tranzitivitatea : a=b și b=c atunci a=c
Relația de egalitate în domeniul numerelor raționale având proprietățile de reflexivitate, simetrie, tranzitivitate este o relație de echivalență.
Operații cu numere raționale
Adunarea
Suma a două numere raționale
Proprietăți:
- comutativitatea : a+b=b+a
- asociativitatea : (a+b)+c=a+(b+c)
- element neutru : a+0=0+a=a
- elementul opus : a+(-a)=(-a)+a=0
Scăderea
Oricare ar fi numerele raționale a și b: a-b=a+(-b).
Deci, pentru a se scădea dintr-un număr rațional a un alt număr rațional b, se adună la numărul rațional a opusul numărului rațional b (-b).
Operația de scădere se poate efectua între oricare numere raționale.
- Oricare ar fi a număr rațional: a-0=a respectiv 0-a=-a.
- Oricare ar fi a, b ,c numere raționale dacă a=b atunci: a-c=b-c.
- Oricare ar fi a, b, c, d numere raționale, dacă a=b și c=d atunci: a-c=b-d.
Înmulțirea
Prin produsul a doua numere raționale
Proprietăți:
- comutativitate : a*b=b*a
- asociativitate : (a*b)*c=a*(b*c)
- distributivitate : a*(b+c)=a*b+a*c
- element neutru : a*1=1*a=a
- element invers : a*(1/a)=(1/a)*a=1
Oricare ar fi a rațional: a*(-1)=(-1)*a=-a
Oricare ar fi a, b, c raționale: a*c=b*c
Împărțirea
Prin câtul a două numere raționale
c=(m/n)/(a/b)=(m/n)*(b/a)
deci se înmulțește deîmpărțitul cu inversul împărțitorului.
Proprietăți:
- a:1=a/1=a
- 1:a=1/a=a-1
- a:(-1)=a/(-1)=-a
- (-1):a=(-1)/a=-a-1
- 0:a=0/a=0
- a=b atunci a:c=b:c sau a/c=b/c
- a=b, c=d atunci a:c=b:d sau a/c=b/d
Dacă a și b sunt două numere raționale pozitive, prin media armonică, se înțelege numărul m, obținut astfel: m=2/[(1/a)+(1/b)]=(2ab)/(a+b)
Ridicarea la putere și extragerea de radicali
Puterile cu exponent natural și întreg ale numerelor raționale sunt tot numere raționale. Extragerea de radicali are ca rezultat numere iraționale în cazul numerelor raționale care nu sunt puteri perfecte ale altor numere raționale.