Va rugam dezactivati programul ad block pentru a vizualiza pagina!

Cumpara abonament!
Plateste cu PayPal

Funcții periodice

Partajeaza in Google Classroom

Partajeaza cu Google Classroom
Susține Lectii-Virtuale!
Pentru a putea vizualiza un video va rugam sa va logati aici! Daca nu aveti cont va puteti inregistra apasand aici.
26 voturi 501 vizionari
Puncte: 10

Transcript



în această lecție discutăm despre

funcții periodice și pornind de

la acest exemplu avem fracția 134

supra 999 Dacă transformăm această

fracție ordinară în fracție zecimală

obținem 0 34 în perioadă avem Așadar

o fracție zecimală periodică simplă

Haideți acum să definim o funcție

f definită pe mulțimea numerelor

naturale nenule cu valori în n

unde f de n este a n a zecimală

a acestui număr 134 supra 999 și

acum să calculăm câteva valori

pentru această funcție f de 1 este

prima zecimală a numărului Adică

1 f de 2 a doua zecimală este 3

a treia zecimală este 4 a patra

zecimală este 1 pentru că urmează

din nou perioada 134 a cincea zecimală

este 3 așa se zice mulla este patru

dacă ne uităm cu atenție la valorile

aceste funcții observăm că acestea

se repetă din 3 în 3 Iată Prin

urmare avem următoarea egalitate

este de 1 este egal cu F de 4 apoi

e f de 2 este egal cu F de 5 iar

E F de 3 este egal cu F de 6 și

așa mai departe SDN a fi egal cu

F d n plus 3 Iată oricare ar fi

n număr natural nenul observăm

Așadar că valorile funcției se

repetă din 3 in 3 iar o astfel

de funcție se numește funcție periodică

Iar acest număr 3 se numește perioadă

mai exact perioadă principală iar

perioada se notează în general

cu litera t mare și acum să ne

uităm puțin love Rafi cu la aceste

funcții fiind o funcție f definită

pe n cu valori în n pe axa absciselor

avem numere naturale iar pe axa

ordonatelor avem valorile acestor

numere prin funcția f avem Așadar

un punct al graficului punctul

de coordonate 1 1 apoi de 2 este

3 f de 3 este 4 s de 4 este 1 pe

5 este 3 f de 6 este 4 și așa mai

departe Așadar graficul acestei

funcții este dat de mulțimea punctelor

roșii din reperul cartezian dacă

ne uităm cu atenție la graficul

acestei funcții observăm că ar

fi fost suficient să trasăm graficul

pe un interval de lungime a unei

perioade iar generale lui pe tot

domeniul de definiție să se facă

translate în duel la dreapta dea

lungul axa absciselor am evidențiat

în culori diferite acea porțiune

a graficului care se repetă în

cazul acestei exemplu perioada

este 3 așa Dar ar fi fost suficient

să Reprezentăm doar prima porțiune

a graficului apoi se translată

În graficul de a lungul axei absciselor

Aceasta este o proprietate importantă

a graficului funcțiilor periodice

și acum să dăm și definiția acestor

funcții avem Așadar următoarea

definiție și o funcție definită

pe a cu valori in R unde a este

o submulțime a lui R Nu spune că

funcția este numește periodică

dacă există un număr pozitiv te

astfel încât pentru orice x din

a să aibă loc egalitatea f de x

egal cu f de x plus 3 atâta timp

cât și valoarea x plus te rămâne

în domeniul de definiție numărul

3 se numește perioadă iar dacă

există o cea mai mică perioadă

atunci aceasta se va numi perioadă

principală și se notează de obicei

cute 0 să vedem în continuare o

proprietate a funcțiilor periodice

dacă ai fi este periodică înseamnă

că are loc această egalitate din

definiție e f de x egal cu f de

x plus 3 normare Dacă la argumentul

funcției x adunăm perioada te funcția

va avea aceeași valoare înseamnă

că la acest argument x plus 3 Putem

să mai adunăm încă o dată perioada

t iar funcția va avea aceeași valoare

așa dar putem să scriem egal mai

departe cu f d x plus t plaste

Dar acest lucru este egal cu f

de x plus 2 t și acum putem să

adunăm încă o dată perioada t și

obțin aceeași valoare pentru funcția

f decedat în continuare cu f de

x plus 3 t și așa mai departe însă

această primă egalitate se poate

scrie și invers d x plus p este

egal cu fdx Așadar dacă din argumentul

funcției scădem perioada te funcția

va avea aceeași valoare Deci Putem

intra la mai departe cu f d x minus

t din argumentul x am scăzut perioada

te așa cum am făcut aici la primul

pas mai departe putem să scădem

încă o dată perioada 3 iar funcția

și a păstra valoarea Deci avem

f de x minus 2 t și așa mai departe

m d x minus trei puncte puncte

prin urmare să reținem că dacă

o funcție este periodică atunci

pentru 8cx din domeniul de definiție

și pentru orice număr k întreg

are loc egalitatea f de x egal

cu f de x plus kt am văzut că numărul

k poate să fie atât pozitiv cât

și negativ prin urmare pentru orice

k întreg are loc această egalitate

în continuare o să facem un exercițiu

și e f definită pe mulțimea numerelor

naturale nenule cu valori în n

f de n este egal cu ultima cifră

a numărului 3 la puterea n Arătați

că f este periodică și Aflați perioada

principală de 0 din moment ce f

de n este egal cu ultima cifră

a numărului 3 la puterea n Haide

să scriem câteva puteri ale numărului

3 la n 3 la unuia este trei trei

la a doua nouă trei la 327 trei

la 481 3 la a cincea 243 3 la 6:00

729 trei la 7:00 2187 și trei la

a opta 6561 Bineînțeles că pe noi

ne interesează doar ultima cifră

Iată Avem 3 9 7 1 3 9 7 1 și așa

mai departe f de 1 este ultima

cifră a numărului 3 la puterea

întâia adică 3 de 2 este ultima

cifră a numărului 3 la a doua 9

f de 3 este ultima cifră a numărului

3 la a treia adică 7 f de 4 este

ultima cifră a numărului 3 la a

patra Adică 1 de 5 este 3 de 6

este 9 este de 7 este 7 și F de

8 este 1 observăm că valorile acestei

funcții se repetă din 4 în 4 pentru

că f de 1 este egal cu EF de 5

Iată 3 și 3 apoi e f de 2 este

egal cu F de 6 fete de 3 este egal

cu F de 7 chef de 4 este egal cu

EF de 8 și așa mai departe observăm

că e f de n este egal cu F de n

plus 4 oricare ar fi n număr natural

nenul prin urmare perioada principală

a acestei funcții este patru de

0 egal cu patru Haideți să demonstrăm

acest lucru și pe cazul general

Dacă n este un număr de forma 4

k avem f de 4 k egal ultima cifră

a numărului 3 la puterea 4 k egal

cu ultima cifră a numărului 3 la

a patra totul la puterea k dar

ultima cifră a numărului 3 la a

patra este unu și ridicat la o

putere ca apa obținem 1 Apoi dacă

este de forma aa 4K plus 1 funcția

va fi ultima cifră a numărului

3 la puterea a 4 k plus unu care

se mai poate scrie 3 la puterea

4K ori 3 la a întâia 3 la puterea

4K are ultima cifra egală cu unu

care înmulțit cu 3 ne va da trei

dacă argumentul funcției este de

forma a 4 k plus 2 atunci avem

ultima cifră a numărului 3 la 4K

plus 2 Care este egal cu ultima

cifră a lui 3 la 4K ori 3 la a

doua ultima cifră a lui 3 la 4

k este 1 înmulțit cu 9 9 iar dacă

argumentul funcției este de forma

a 4 k plus 3 avem ultima cifră

a numărului 3 la 4K plus 3 egal

cu ultima cifră a lui 3 la 4K ori

3 la a treia 3 la a treia este

27 de cm cifră a acestui număr

este șapte iar ultima cifră a numărului

3 la 4 k este 1 în final obținem

177 iar dacă argumentul funcției

ar fi de forma 4K plus 4 atunci

acest caz se reduce la primul în

care se obține ultima cifră a numărului

egală cu unu am arătat astfel că

funcția este periodică iar perioada

principală este egală cu 4

Funcții periodiceAscunde teorie X

Fie funcția

f colon A rightwards arrow R comma space A subset of or equal to straight real numbers.

Definiție. Funcția f se numește funcție periodică dacă:

box enclose there exists space T greater than 0 space space a. space î. space for all x element of A space s ă space a v e m colon space space f left parenthesis x plus T right parenthesis equals f left parenthesis x right parenthesis end enclose

Numărul T se numește perioadă a funcției. Cea mai mică perioadă a funcției (dacă există) se numește perioadă principală. 

Proprietate. Dacă f este o funcție periodică având perioada T, atunci pentru

for all x element of A comma space for all k element of straight integer numbers space a. space î. space left parenthesis x plus k T right parenthesis element of A

are loc relația:

f left parenthesis x plus k T right parenthesis equals f left parenthesis x right parenthesis.

Observație. Reprezentarea grafică a unei funcții periodice se poate obține trasând graficul acesteia pe un interval de lungimea unei perioade T și apoi translatându-l la stânga și la dreapta de-a lungul axei Ox pe intervale de lungimea T.

 

 

Navigare în lectii

Cumpara abonament
Plătește cu PayPal

Ajutor
Feedback-ul d-voastră este important pentru noi. Dacă observați vreo neregulă vă rugăm să ne-o semnalați apăsând butonul Trimite Feedback de mai jos.

Despre Lecții-Virtuale.ro

Lecții-Virtuale este o platformă educațională care oferă suport în vederea pregătirii pentru Evaluare Națională și Bacalaureat la Matematică, Fizică și Chimie. Lecțiile noastre sunt alcătuite din filme și exerciții și probleme cu tot cu rezolvări. Platforma noastră este o soluție ideală pentru școala online. Pentru facilitarea activității profesorilor în cadrul ecosistemului GSuite de la Google am implementat butonul Google Classroom. Scopul nostru este să ne concentrăm pe prezentarea noțiunilor și fenomenelor într-o manieră care să stimuleze înțelegerea și nu memorarea mecanică. Ne propunem să facilităm accesul la conținut educațional de calitate mai ales elevilor cu venituri mai modeste care nu își pemit meditații particulare. Sperăm să vă simțiti bine alături de noi și să invățați lucruri folositoare. Hai România!

Newsletter

Abonează-te la Newsletter pentru a fi la curent cu toate ofertele noastre.

Parteneri

EduApps partener Lectii Virtuale UiPath partener Lectii Virtuale Scoala365 partener Lectii Virtuale CCD Galați partener Lectii Virtuale

2022 © Lecții-virtuale.ro Toate drepturile rezervate
Termeni   Despre   Contact   Confidenţialitate   Cariere Parteneri