Pozițiile relative ale unei drepte față de un plan

să vorbim acum despre pozițiile

relative ale unei drepte față de

un plan și putem să întâlnim dreaptă

inclusă în plan Deci dreapta d

conținută În planul alfa și noi

știm că dacă o dreaptă are două

puncte comune cu un plan atunci

este conținută în întregime în

planul respectiv Deci are toate

punctele în acel plan sau putem

să avem dreaptă secantă unui plan

asta înseamnă că dreapta și planul

au un singur punct în comun Deci

notăm aici dreapta d intersectat

cu planul alfa obținem punctul

A avem un singur punct în comun

sau mai spunem că dreapta înțeapă

planul e o denumire foarte sugestivă

pentru această situație și mai

avem în final dreaptă paralelă

cu planul cu alte cuvinte dreapta

și planul nu au niciun punct în

comun Deci dreapta d intersectată

cu planul alfa este mulțimea vidă

Ce observăm ca să stabilim poziția

unei drepte față de un plan ne

ghidăm de fapt după numărul de

puncte pe care dreapta respectivă

reale în comun cu planul Iată Dacă

dreapta și planul nu au niciun

punct în comun înseamnă că vorbim

de dreaptă paralelă cu planul Dacă

dreapta și planul au un singur

punct în comun înseamnă că avem

dreaptă secantă unui plan iar dacă

dreapta și plan au două puncte

în comun înseamnă că toate punctele

acelei dreptei aparțin planului

respectiv deci vorbim de dreaptă

inclusă în plan dăm în continuare

o teoremă foarte importantă de

paralelism și anume o dreaptă ne

inclusă în plan este paralelă cu

planul Dacă și numai dacă este

paralelă cu o din acel plan Deci

dreapta d este paralelă cu planul

alfa Dacă și numai dacă ce se spune

aici este paralelă cu o dreapta

din plan Deci dacă și numai dacă

există o altă dreaptă în acel plan

să îi spunem de prim Deci dacă

și numai dacă există de prin dreaptă

inclusă în planul alfa astfel încât

dreapta d este paralelă cu dreapta

d prim pe scurt ca să demonstrăm

că o dreaptă paralelă cu un plan

Trebuie să găsim în acel plan o

dreaptă a astfel încât dreapta

din plan să fie paralelă cu dreapta

noastră și atunci putem să spunem

că dreapta e paralelă cu planul

să facem acum o aplicație și avem

dreptunghiul ABCD și triunghiul

abe pe situate în plane diferite

ca în figură și m și n sunt mijloacele

cele laturilor AP și bp Să arătăm

că Haideți să vedem și cerința

mn este paralelă cu planul d b

c De ce ai de să ne uităm la figura

avem dreptunghiul a b c d a b c

d bun și triunghiul abp a b p situate

în plane diferite triunghi despre

triunghiul abp nu se spune nimic

Deci Considerăm că e un triunghi

oarecare m și n sunt mijloacele

laturilor a b a d să trecem Deci

m este mijlocul laturii ab a m

e congruent atunci cu m p și n

este mijlocul laturii b p Deci

b n este congruent cu NP Să arătăm

că m n Deci că acest această dreaptă

este paralelă cu planul d b c care

este acest plan Deci avem de b

c vorbim de acest plan înainte

să rezolvăm cerința vreau să lămurim

un lucru și anume planul de ce

b sau planul dbc cum vreți să îi

spunem este unul și același cu

planul a b c d Deci planul d b

c este egal de fapt cu planul a

b c d Iată ca un plan îl putem

Descrie folosind și patru puncte

de ce are loc această relație Păi

dreapta AB este paralelă cu dreapta

DC Haideți să notăm aici a b paralelă

cu d c dacă avem două drepte paralele

Ce știm când se obține se obține

un plan unic Deci rezultă că există

Alfa plan astfel încât și dreapta

a b și dreapta d c sunt conținute

în planul alfa și c astfel încât

toate punctele a b și c aparțin

planului Alfa însă oricare trei

din aceste patru puncte sunt necoliniare

Deci punctele d c și b punctele

d c și b fiind necoliniare Ce determină

Păi din axiomă planului trecem

aici axiomă planului înseamnă că

le determină un plan unic Deci

planul determinat de ele numit

de BC este un plan unic bun dar

aceste trei puncte d b și c iar

bd și ce sunt și în planul alfa

cu alte cuvinte ce obținem că planul

alfa este egal de fapt cu planul

d b c bondar punctul aparține planului

Alfa prin urmare punctul a aparține

acestui plan de b c b Dacă punctul

a aparține planului dbc înseamnă

că planul determinat planul din

care fac parte punctele a b c d

este unul și același cu planul

d b c d c rezultă că planul d b

c este egal de fapt cu planul ab

cd și acum vom șterge aici cum

avem plane egal înseamnă că noi

ce avem de arătat noi avem de fapt

de arătat că m n dreapta MN este

paralelă cu planul a b c d am făcut

această observație pentru că poate

ne mai ușor Să arătăm acest lucru

decât să Ne încurcăm cu planul

de b c cum ar am ca o dreaptă este

paralelă cu un plan Păi conform

în teoreme de paralelism pe care

tocmai amenințată trebuie să arătăm

că dreapta respectivă e paralelă

cu o dreapta din plan fain să ne

uităm la figure ce avem aici M

este mijlocul acestui segment n

este mijlocul acestui segment Păi

ce înseamnă asta înseamnă că mn

este linia mijlocie în triunghiul

a p b Haide să trecem rapid voi

șterge și ce am notat aici Deja

cred că se înțeles a m este egal

cu m p b n este egal cu n p Ce

înseamnă asta că m n este cum am

spus în linie mijlocie în ce triunghi

Cum îl cheamă avem triunghiul a

p b a pe Păi ce obține înseamnă

că m n este paralel cu AB Păi am

obținut acest paralelism iar dreapta

a b unde este conținută în planul

a b c d d c a b este inclusă în

planul a b c d care este unul și

același cu planul dbc putem să

trecem de bc exact cum apare aici

în enunț prin urmare rezultă că

chiar o să facem un rezultă mai

mare Ce rezultă din teoremă De

paralelism ce vom obține cum avem

o dreaptă paralelă cu o altă dreaptă

care face parte dintre un plan

înseamnă că dreapta e paralelă

cu planul bcd alta că e m n este

paralelă cu planul de bc exact

ce aveam de demonstrat următoarea

cerință este aceasta trebuie să

arătăm că dreapta c p este paralelă

cu planul m n o unde intersecția

segmentelor a c și b d este punctul

O De ce ai de să vedem ce pe să

trasăm acest segment Deci trebuie

să arătăm că dreapta c p este paralelă

cu planul m n o unde ac intersectat

cu d b Deci ei ce să facem tot

cu alb ac intersectat cu d b Deci

ne referim la punctul de intersecție

al diagonalelor și obținem aici

punctul O planul m n o să trasăm

și pe el o n chiar o să ia un alt

creion m o n acesta e planul cel

dat Să arătăm că este paralelă

cu acest plan Păi Cum arătăm că

o dreaptă paralelă cu un plan Trebuie

să găsim în acel plan O dreaptă

care să fie paralelă cu dreapta

CP Eu deja am indicat despre ce

dreaptă e vorba trebuie să arătăm

că c p este paralelă cu Mo Cum

facem acest lucru Păi nu e greu

deloc pentru că Iată știm că M

este mijlocul segmentului AB iar

punctul de intersecție al diagonalelor

unui dreptunghi înjumătățește diagonalele

asta înseamnă că a o este congruent

cu o c prin urmare obținem că în

triunghiul c a p avem m o linie

mijlocie Deci ei este egal cu o

c a m este egal cu m p prin urmare

obținem că m o este linie mijlocie

în ce triunghi În triunghiul c

a b c a b c rezultă de aici rezultă

că m o este paralelă cu c p m o

paralelă cu c p pun Dar dreapta

m o este inclusă în planul m o

n e ș trecem aici că m o este inclusă

în acest plan m n o și ce obținem

pe dreapta c p paralelă cu o dreaptă

din acest plan conform teoremei

de paralelismul scrie aici doar

teh de la teorema înseamnă că c

p este paralelă cu planul m n ultima

întrebare Să arătăm acum că dreapta

d este inclusă în planul c m n

Deci dreapta d aceasta Să arătăm

că este inclusă în planul c m n

adică în acest plan cum vom face

acest lucru vă las puțin timp să

vă gândiți voi de vreme ce punctul

n aparține acestui plan Evident

ca Să arătăm că această dreaptă

inclusă în plan trebuie să arătăm

că și un alt punct al dreptei d

n face parte din acest plan Poate

reușim chiar Să arătăm că punctul

d aparține planului c m n și atunci

cum două puncte sunt între un plan

înseamnă că dreapta determinată

de inclusă în plan de fapt e același

lucru cu a arăta că planul c m

n este de fapt egal cu Ce plan

iar c e n e unul și același cu

planul d c n m d c n i și chiar

o să plasez aici și acest plan

Cum arătăm că punctul d face parte

din planul c m n sau altfel spus

Cum arătăm această egalitate păi

în primul rând mn este paralelă

cu bc și știm acest lucru pentru

că noi am arătat mai întâi că m

n este paralel cu AB am arătat

acest lucru la prima cerință de

tema asta știm iar ab este paralelă

cu d c pentru că a b c d este dreptunghi

și aceste două drepte sunt paralele

Ce rezultă de aici Păi e m n paralel

cu a b a b paralelă cu d c din

tranzitivitatea relației de paralelism

înseamnă că mn e paralelă cu d

c m n paralelă cu d c prin urmare

avem două drepte paralele Deci

le determină Ce anume un plan unic

10 rezultă că există Alfa plan

astfel încât cele două drepte MN

și BC de cm și DC să fii în concluzie

în acel plan Deci punctele m n

d și c aparțin planului Alfa bun

însă punctele c m și n Cum sunt

si m și n sunt puncte necoliniare

Ce rezultă din axioma planului

le determină un plan unic Deci

acest plan determinat de ele care

se numește c m n este unic le determină

un plan unic dar în același timp

punctele C M și N se află și în

planul alfa d c rezultă că planul

alfa e chiar planul determinat

de cele trei puncte cm și an bun

dar iată că punctul de viata aici

aparține planului Alfa dar planul

alfa este egal cu acest plan Deci

rezultă că punctul d aparține planului

cm n c m n și Haideți să subliniem

această informație am am obținut

că de aparține acestui plan hașurat

știind că n aparține și al planului

si m n Asta e evident Păi dacă

avem două puncte care aparțin unui

plan înseamnă că dreapta determinată

de la inclusă în plan cu alte cuvinte

de n inclusă în planul c m e dexat

ce aveam de demonstrat