Teorema lui Menelaus (aplicații)
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
avem următoarea problemă Fie triunghiul
ABC M un punct situat pe latura
b c astfel încât m c supra bc egal
cu 1 pe 3 și m situat pe latura
ab astfel încât AE supra ab egal
cu 1 pe 2 fie p mijlocul segmentului
CN Arătați că punctele A B și m
sunt coliniare pentru a demonstra
coliniaritatea acestor puncte folosind
reciproca teoremei lui menelaus
din moment ce trebuie să demonstrăm
că punctele A B și m sunt coliniare
înseamnă că dreapta a m va fi transversal
a unui triunghi observăm că punctul
m este situat pe latura bc Deci
una dintre laturile triunghiului
este b c p este situat pe segmentul
a c deci a doua latură a triunghiului
este nc iar a este situat pe dreapta
b n Așadar avem triunghiul b n
c evidențiem așa dat triunghiul
BMC cu transversala apm aplicăm
reciproca teoremei lui menelaus
pentru triunghiul BMC cu transversala
apm avem un produs de trei rapoarte
egal cu 1 fiecare raport începe
cu unul din cele trei vârfuri ale
triunghiului a m b n c primul raport
se termină cu litera cu care începe
următorul de ceai și copiez an
aici copiez c iar la final avem
b întotdeauna la final trecem aceeași
literă cu care am început pe dreapta
bn avem punctul A pe dreapta m
c avem punctul p și pe dreapta
CB avem punctul m Să ne uităm și
pe desen Ba Deci atenție când punctul
este situat pe prelungirea laturii
triunghiului se ia Tot segmentul
acesta Ba supra a n Ori n p supra
PC orice m supra MB egal cu 1 trebuie
Așadar să verificăm dacă produsul
acestor trei rapoarte este egal
cu unu nu știm din ipoteză că a
n supra ab este 1 pe 2 a n supra
a b este 1 pe 2 și atunci a b supra
a n Deci inversăm rapoartele va
fi egal cu 2 Am calculat Așadar
primul raport și acum să vedem
al doilea raport n p supra PC din
moment ce punctul p este mijlocul
segmentului CN înseamnă că mp supra
pe ce este egal cu 1 pentru că
punctul p este mijlocul segmentului
CN Și mai trebuie să calculăm raportul
c m supra MB noi avem m c supra
bc egal cu 1 pe 3 să scriem și
acest lucru m c supra BC este egal
cu 1 pe 3 noi trebuie să calculăm
cm supra m b numărătorul este același
Mc însă numitorii sunt diferiti
aici avem MB iar Aici avem bc prin
urmare trebuie să facem o operație
astfel încât la numitorul acestei
fracții să ne apară MB dar MB este
egal cu bc minus MC prin urmare
va trebui să scădem numărătorul
din numitor și facem acest lucru
cu ambele rapoarte avem Așadar
m c supra bc minus m c egal cu
1 supra 3 minus 1 m c supra b c
minus m c este egal cu BM egal
cu 1 pe 2 Am calculat așa dar și
acesta port Deci b a supra a n
este egal cu 2 n p supra p c este
egal cu 1 și c m supra MB este
egal cu 1 pe 2 prin urmare dacă
înmulțim Toate aceste trei rapoarte
obținem că b a supra a n ori n
p supra PC ori si m supra MB este
egal cu 2 ori 1 ori 1 pe 2 și egal
cu 1 prin urmare am arătat că produsul
acestora poartă este egal cu 1
Așadar punctele a b și m sunt coliniare