Teorema lui Thales
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
tales din millet a fost un filozof
grec care a avut contribuții importante
în matematică și astronomie ala
calculat înălțimea piramidelor
din Egipt măsurând umbra acestora
pe nisip a determinat momentul
Din zi în care umbra era egală
cu înălțimea piramidei a demonstra
că unghiurile de la baza unui triunghi
isoscel sunt congruente a demonstra
că Unghiurile opuse la vârf sunt
congruente A descoperit constelația
Carului mic și a prezis o eclipsă
de soare și a demonstrat că o paralelă
dusă la una din Laturile unui triunghi
determina pe celelalte două laturi
segmente proporționale ultima pe
care o Vom numi teorema lui tales
o paralelă dusă la una din Laturile
unui triunghi determina pe celelalte
două laturi segmente proporționale
dacă avem un triunghi abc și am
dus MN o paralelă la latura b c
atunci a m supra MB va fi egal
cu a n supra n c nu face demonstrația
acestei teoreme și vom duce mai
întâi niște construcții ajutătoare
o să ducem o perpendiculară din
m pe latura AC și o perpendiculară
din n pe latura a b Fie m perpendiculară
pe AC și n f perpendiculară pe
ab în demonstrația acestei teoreme
vom folosi aria triunghiurilor
vă reamintesc că aria unui triunghi
în general se calculează după formula
baza ori înălțimea supra 2 ne propunem
să calculăm următorul rapport dintre
aria triunghiului amn și aria triunghiului
m b n unim punctele B și n aria
triunghiului a m n se poate scrie
ca produsul dintre latura a m ori
înălțimea corespunzătoare ei adică
n f supra 2 iar aria triunghiului
m b n la filatura m b înălțimea
corespunzătoare a n f supra 2 acesta
fiind un triunghi obtuzunghic înălțimea
din an este situată în exteriorul
triunghiului și aceasta este n
f b c aria triunghiului m b n se
poate scrie MB ori n supra 2 egal
mai departe cu a m ori n supra
2 ori 2 supra inverse amandoua
fracție n d a n s simplifica 2
cu 2 și m f și rămâne a m supra
MB am exprimat Așadar primul raport
din teorema lui tales trebuie Acum
se exprimă în raportul a n supra
n c pentru aceasta vom calcula
raportul ariilor triunghiurilor
a m n și m&c aria triunghiului
a m n supra aria triunghiului mnc
de data aceasta vom considera aria
triunghiului amn ca fiind latura
a n ori înălțimea corespunzătoare
a m e supra 2 a n ori m e supra
2 și aria triunghiului m n ce va
fi latura n c înălțimea corespunzătoare
ei adică m e supra 2 avem din o
fracție supraetajată vom înmulțit
prima fracție cu inversa celei
de a doua a n ori m a supra 2 ori
2 supra nc ori m n si simplifica
2 și m n și rămâne a n supra n
c am reușit să exprimăm și cel
de al doilea raport din teorema
lui tales acum Trebuie doar să
arătăm că aceste rapoarte sunt
egale mai exact va trebui să arătăm
că rapoartele ariilor acestor triunghiuri
sunt egale însă dacă ne uităm la
aceste rapoarte dintre ariile triunghiurilor
observăm că la numărător avem același
triunghi amn Deci mai trebuie doar
să arătăm că aria triunghiului
m b n va fi egală cu aria triunghiului
m n c ne propunem în continuare
Să arătăm că aria triunghiului
m d n este egală cu aria triunghiului
m n deocamdată vreo notă acestei
relații cu unu și doi vom încerca
să exprimăm ariile acestor triunghiuri
ducând alte înălțimi ale acestora
prelungim segmentul MN și ducem
b perpendiculară pe m n și c q
perpendicular pe m n Fie a b perpendiculară
pe m n și ce q perpendiculară pe
MN înseamnă că patrulaterul acesta
care se format pe b c q este un
dreptunghi pentru că acesta este
un paralelogram cu două unghiuri
drepte Deci e va fi dreptunghi
rezultă din această construcție
că pe b c q este dreptunghi intru
în dreptunghi Laturile opuse sunt
egale deci pe b va fi egală cu
qc acum vom exprima aria triunghiului
m b n ca fiind baza m n ori înălțimea
b p supra 2 și aria triunghiului
ce va fi exprimată ca produsul
dintre latura m n ori înălțimea
c q supra 2 având în vedere că
în formula ariilor acestor două
triunghiuri intervine același segment
m n și două înălțimi care sunt
egale va rezulta că ariile acestor
două triunghiuri vor fi egal voi
continua mai jos aria triunghiului
a m b n va fi egală cu produsul
dintre latura m n ori Înălțimea
pe b supra 2 aria triunghiului
mnc va fi m n ori q c supra 2 Dar
pe b și q c sunt egale înseamnă
că ariile acestor două triunghiuri
o fi egal aria triunghiului a m
b n va fi egală cu aria triunghiului
mnc și notez această relație cu
3 am arătat Așadar că rapoartele
ariilor acestor triunghiuri sunt
egale și atunci va rezulta că și
aceste segmente sunt proporționale
din relațiile 1 2 și 3 a rezultat
că teorema lui tales este demonstrată
din relația 1 doi și trei va rezulta
că a m supra MB este egal cu a
n supra Mc am demonstrat această
teoremă din aceasta egalitate de
rapoarte putem obține proporții
derivate Dacă adunăm numărătorii
la numitori obținem următoarea
relație a m supra a m plus MB a
fi egal cu a n supra a n plus m
c dar a m plus MB dacă ne uităm
pe figură a m plus MB va Fie segmentul
ab iar a n plus m c va fi segmentul
ac Deci obținem următoarea proporție
a m suprafa a b egal cu a n supra
AC în unele probleme vom folosi
această relație Deci e bine să
o reținem și pe aceasta am demonstrat
Așadar că o paralelă la una din
Laturile unui triunghi formează
segmente proporționale a m supra
m b va fi egal cu a n supra n c
teorema lui Thales este adevărată
și în cazul în care paralela este
dusă în exteriorul triunghiului
și am obținut de asemenea prin
proporții derivate următoarea relație
a m supra ab egal cu a n supra
AC în continuare o să facem o problemă
în triunghiul m n p se consideră
punctul E situat pe latura m n
și F situat pe latura n p astfel
încât ef să fie paralel cu m p
știind că m este egal cu 6 m n
egal cu 16 și este egal cu 18 cm
Calculați n e n s și NP demonstrație
bombe aplica teorema lui talles
având în vedere că e f este paralelă
cu mp din teorema lui tales va
rezulta următoarea relație n supra
m egal cu n e supra SP nu se cunoaște
segmentul n m Dar putem să îl aflăm
și făcând diferența dintre segmentele
n m și i m n e este egal cu n m
minus e m egal cu 16 minus 6 și
egal cu 10 cm în egalitatea de
mai sus 10 supra Emi este 6 egal
cu n supra 18 din această relație
îl aflăm pe an acesta este egal
cu 10 ori 18 supra șase se simplifică
18 cu șase și rămâne trei obținem
10 ori 3 egal cu 30 cm Și mai trebuie
să dau lemn pe n p NP va fi suma
dintre segmentele an și este egal
cu 30 plus 18 egal cu 48 cm