Reciproca teoremei lui Thales

reciproca teoremei lui Thales o

să încep cu o propoziție care ne

va fi utilă în demonstrația reciprocei

teoremei lui Thales există un singur

punct în interiorul unui segment

care împarte segmentul între un

raport dat să luăm un exemplu avem

un segment a b și un punct M situat

în interiorul acestuia acest punct

M va fi singurul care împarte segmentul

ab în raportul 3 supra 5 pentru

a vedea unde trebuie așezat punctul

M vom împărți segmentul ab în opt

părți egale astfel încât a m să

fie trei părți din acest segment

iar m b 5 părți acest lucru rezultă

foarte ușor din folosire a proporțiilor

derivate dacă pornind de la acest

rapport și folosind proporții derivate

adunând numărătorul la numitor

obținem a m supra a m plus MB egal

cu 3 supra 3 plus 5 dar a m plus

MB este ab va rezulta că a m supra

ab este egal cu 3 supra 8 de unde

rezultă că a m este egal cu 3 supra

8 ori ab Așadar segmentul a m va

avea trei optimi din lungimea segmentului

AB iar segmentul MB va fi egal

cu 5 supra 8 din lungimea segmentului

AB rețineți Așadar că există un

singur punct în interiorul unui

segment care împarte segmentul

pentru un raport dat și acum stai

enunț am reciproca teoremei lui

Thales dacă o dreaptă determină

pe două laturi ale unui triunghi

segmente proporționale atunci ea

este paralelă cu cea de a treia

latură a triunghiului avem un triunghi

abc și punctele m și n situate

pe laturile ab și ac Dacă se verifică

această egalitate a m supra MB

egal cu a n supra m c atunci va

rezulta că mn este paralelă cu

bc ma folosi reciproca teoremei

lui Thales atunci când ne propunem

Să arătăm că două drepte sunt paralele

pentru demonstrația acestei teoreme

folosind metoda reducerii la absurd

presupunem prin absurd că m n nu

este paralelă cu bc înseamnă că

prin m putem să ducem o paralelă

la bc care intersectează dreapta

AC în punctul n prim dacă m n prim

este paralelă cu bc putem aplica

teorema directă a lui tales va

rezulta conform teoremei lui Thales

că a m supra MB este egal cu a

n prim supra n prim c dar nu știm

din ipoteză că a m supra MB este

egal cu a n supra m c din aceste

două relații rezultă că a n prim

supra n prim c este egal cu a n

supra n c din această egalitate

A rezultat că punctul n prim coincide

cu punctul n deoarece există un

singur punct în interiorul segmentului

ac care împarte segmentul într

un raport dat va rezulta Așadar

că punctul n prim coincide cu punctul

n Deci presupunerea noastră este

falsă și rezultă că mn este paralelă

cu bc nu facem continuare două

probleme Fie a b c un triunghi

oarecare d un punct situat pe latura

ab e un punct situat pe latura

ac știind că ab este egal cu 28

cm DB egal cu 21 cm AE egal 6 cm

și ac egal 18 cm Arătați că d e

este paralelă cu bc nu folosi reciproca

teoremei lui Thales ne propunem

să verificăm următoarea relație

ad supra DB egal cu AE supra ec

dacă aceasta egalitate este verificată

va rezulta conform teoremei reciprocei

teoremei lui Thales că de e va

fi paralelă cu bc Se știe că ab

este 28 cm bebe 21 a a 6 și a c

18 se află mai întâi lungimea segmentului

ad făcând diferența dintre segmentele

AB și DB Adi este egal cu a b minus

DB egal cu 28 minus 21 egal cu

7cm să calculăm acum raportul ad

supra DB acesta este egal cu 7

supra 21 rația se mai poate simplifica

7 și obținem 1 supra 3 să calculăm

acum celălalt rapport AE supra

ec a este 6 iar a c 18 se simplifică

cu șase și obținem 1 supra 3 observăm

Așadar că are loc această egalitate

între cele două rapoarte dezvolta

Așadar că a d supra d b este egal

cu a e supra ec de unde va rezulta

conform reciprocei teoremei lui

Thales că de este paralelă cu bc

și a doua problemă în triunghiul

isoscel ABC AB congruent cu ac

Se știe că ab este egal cu 18 cm

și b d mediană unde d aparține

segmentului ac Fie M un punct situat

pe latura ab și n Un punct situat

pe latura AC astfel încât a m egal

6 cm și a n egal 3 cm Arătați că

mn este paralelă cu b d construim

un triunghi ABC isoscel cu laturile

AB și AC congruente b d este mediană

D fiind mijlocul laturii ac fix

în punctele m și n a astfel încât

a m să fie 6 cm și a n 3 cm trebuie

să arătăm că mn este paralelă cu

b d m aplica și de această dată

reciproca teoremei lui Thales și

ne propunem să verificăm dacă este

adevărată următoarea relație am

supra MB egal cu a n supra n d

dacă reușim să arătăm că această

relație are loc va rezultat că

dreptele MN și bd sunt paralele

mai întâi va trebui să aflăm lungimea

segmentului n b și lungimea segmentului

n d știind că ab este 18 înseamnă

că MB va fi 18 minus 6 adică 12

mai știm că punctul D este mijlocul

laturii ac iar AC are tot 18 cm

Pentru că triunghiul este isoscel

înseamnă că de ce va fi 9 și AD

are 9 cm iar ND se poate calcula

făcând diferența dintre lungimea

segmentului ad și lungimea segmentului

a n obținem șase am aflat aceste

segmente care intervin în reciproca

teoremei lui Thales ce mai trebuie

acum să verificăm Dacă aceste segmente

sunt proporționale am văzut că

bem este egal cu 18 minus 6 egal

cu 12 cm Dacă b d este mediană

înseamnă că de e este mijlocul

lui ac deci a d va fi egal cu DC

și egal cu 18 împărțit la 2 adică

9 cm dacă a n este 3 cm înseamnă

că m d este egal cu a d minus a

n egal cu 9 minus 3 și egal cu

6 cm și acum să calculăm Raportul

a m supra MB a m este 6 cm din

ipoteză iar MB este 12:00 putem

simplifica cu șase și obținem 1

supra 2 iar a n supra m d va fi

egal cu 3 supra 6 imi este 3.000

pe teză iar md este 6 simplificăm

cu 3 și obținem 1 supra 2 Așadar

cele două rapoarte au aceeași valoare

înseamnă că a m supra m b este

egal cu a n supra m d va rezulta

conform reciprocei teoremei lui

Thales că dreptele MN și bd sunt

paralele