Reciproca teoremei lui Thales
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
reciproca teoremei lui Thales o
să încep cu o propoziție care ne
va fi utilă în demonstrația reciprocei
teoremei lui Thales există un singur
punct în interiorul unui segment
care împarte segmentul între un
raport dat să luăm un exemplu avem
un segment a b și un punct M situat
în interiorul acestuia acest punct
M va fi singurul care împarte segmentul
ab în raportul 3 supra 5 pentru
a vedea unde trebuie așezat punctul
M vom împărți segmentul ab în opt
părți egale astfel încât a m să
fie trei părți din acest segment
iar m b 5 părți acest lucru rezultă
foarte ușor din folosire a proporțiilor
derivate dacă pornind de la acest
rapport și folosind proporții derivate
adunând numărătorul la numitor
obținem a m supra a m plus MB egal
cu 3 supra 3 plus 5 dar a m plus
MB este ab va rezulta că a m supra
ab este egal cu 3 supra 8 de unde
rezultă că a m este egal cu 3 supra
8 ori ab Așadar segmentul a m va
avea trei optimi din lungimea segmentului
AB iar segmentul MB va fi egal
cu 5 supra 8 din lungimea segmentului
AB rețineți Așadar că există un
singur punct în interiorul unui
segment care împarte segmentul
pentru un raport dat și acum stai
enunț am reciproca teoremei lui
Thales dacă o dreaptă determină
pe două laturi ale unui triunghi
segmente proporționale atunci ea
este paralelă cu cea de a treia
latură a triunghiului avem un triunghi
abc și punctele m și n situate
pe laturile ab și ac Dacă se verifică
această egalitate a m supra MB
egal cu a n supra m c atunci va
rezulta că mn este paralelă cu
bc ma folosi reciproca teoremei
lui Thales atunci când ne propunem
Să arătăm că două drepte sunt paralele
pentru demonstrația acestei teoreme
folosind metoda reducerii la absurd
presupunem prin absurd că m n nu
este paralelă cu bc înseamnă că
prin m putem să ducem o paralelă
la bc care intersectează dreapta
AC în punctul n prim dacă m n prim
este paralelă cu bc putem aplica
teorema directă a lui tales va
rezulta conform teoremei lui Thales
că a m supra MB este egal cu a
n prim supra n prim c dar nu știm
din ipoteză că a m supra MB este
egal cu a n supra m c din aceste
două relații rezultă că a n prim
supra n prim c este egal cu a n
supra n c din această egalitate
A rezultat că punctul n prim coincide
cu punctul n deoarece există un
singur punct în interiorul segmentului
ac care împarte segmentul într
un raport dat va rezulta Așadar
că punctul n prim coincide cu punctul
n Deci presupunerea noastră este
falsă și rezultă că mn este paralelă
cu bc nu facem continuare două
probleme Fie a b c un triunghi
oarecare d un punct situat pe latura
ab e un punct situat pe latura
ac știind că ab este egal cu 28
cm DB egal cu 21 cm AE egal 6 cm
și ac egal 18 cm Arătați că d e
este paralelă cu bc nu folosi reciproca
teoremei lui Thales ne propunem
să verificăm următoarea relație
ad supra DB egal cu AE supra ec
dacă aceasta egalitate este verificată
va rezulta conform teoremei reciprocei
teoremei lui Thales că de e va
fi paralelă cu bc Se știe că ab
este 28 cm bebe 21 a a 6 și a c
18 se află mai întâi lungimea segmentului
ad făcând diferența dintre segmentele
AB și DB Adi este egal cu a b minus
DB egal cu 28 minus 21 egal cu
7cm să calculăm acum raportul ad
supra DB acesta este egal cu 7
supra 21 rația se mai poate simplifica
7 și obținem 1 supra 3 să calculăm
acum celălalt rapport AE supra
ec a este 6 iar a c 18 se simplifică
cu șase și obținem 1 supra 3 observăm
Așadar că are loc această egalitate
între cele două rapoarte dezvolta
Așadar că a d supra d b este egal
cu a e supra ec de unde va rezulta
conform reciprocei teoremei lui
Thales că de este paralelă cu bc
și a doua problemă în triunghiul
isoscel ABC AB congruent cu ac
Se știe că ab este egal cu 18 cm
și b d mediană unde d aparține
segmentului ac Fie M un punct situat
pe latura ab și n Un punct situat
pe latura AC astfel încât a m egal
6 cm și a n egal 3 cm Arătați că
mn este paralelă cu b d construim
un triunghi ABC isoscel cu laturile
AB și AC congruente b d este mediană
D fiind mijlocul laturii ac fix
în punctele m și n a astfel încât
a m să fie 6 cm și a n 3 cm trebuie
să arătăm că mn este paralelă cu
b d m aplica și de această dată
reciproca teoremei lui Thales și
ne propunem să verificăm dacă este
adevărată următoarea relație am
supra MB egal cu a n supra n d
dacă reușim să arătăm că această
relație are loc va rezultat că
dreptele MN și bd sunt paralele
mai întâi va trebui să aflăm lungimea
segmentului n b și lungimea segmentului
n d știind că ab este 18 înseamnă
că MB va fi 18 minus 6 adică 12
mai știm că punctul D este mijlocul
laturii ac iar AC are tot 18 cm
Pentru că triunghiul este isoscel
înseamnă că de ce va fi 9 și AD
are 9 cm iar ND se poate calcula
făcând diferența dintre lungimea
segmentului ad și lungimea segmentului
a n obținem șase am aflat aceste
segmente care intervin în reciproca
teoremei lui Thales ce mai trebuie
acum să verificăm Dacă aceste segmente
sunt proporționale am văzut că
bem este egal cu 18 minus 6 egal
cu 12 cm Dacă b d este mediană
înseamnă că de e este mijlocul
lui ac deci a d va fi egal cu DC
și egal cu 18 împărțit la 2 adică
9 cm dacă a n este 3 cm înseamnă
că m d este egal cu a d minus a
n egal cu 9 minus 3 și egal cu
6 cm și acum să calculăm Raportul
a m supra MB a m este 6 cm din
ipoteză iar MB este 12:00 putem
simplifica cu șase și obținem 1
supra 2 iar a n supra m d va fi
egal cu 3 supra 6 imi este 3.000
pe teză iar md este 6 simplificăm
cu 3 și obținem 1 supra 2 Așadar
cele două rapoarte au aceeași valoare
înseamnă că a m supra m b este
egal cu a n supra m d va rezulta
conform reciprocei teoremei lui
Thales că dreptele MN și bd sunt
paralele