Teorema medianei
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
în acest clip o să discutăm despre
teorema medianei aceasta ne permite
să calculăm lungimea medianei În
triunghiul oarecare atunci când
se cunosc lungimile laturilor acestuia
avem triunghiul oarecare abc și
am notat laturile acestuia cu a
mic b mic respectiv c mic vom nota
cu m indice A lungimea medianei
corespunzătoare laturii a mic cu
m indice b notăm mediană corespunzătoare
laturii b mic și cu MC medianei
corespunzătoare laturii c au loc
următoarele relații m a la pătrat
este egal cu 2 pe lângă b pătrat
plus c pătrat minus a pătrat supra
4 m b la pătrat este egal cu 2
pe lângă a pătrat plus pătrat minus
b pătrat supra 4 iar mediană corespunzătoare
laturii c la pătrat va fi egală
cu 2 pe lângă a pătrat plus b pătrat
minus c p supra 4 vom demonstra
prima relație celelalte două demonstrând
USA analog dacă a m este mediană
atunci are loc următoarea relație
vectorială a m este semisuma vectorilor
ab și ac Acest lucru se poate demonstra
foarte ușor dacă prelungim mediana
a m cu un segment având aceeași
lungime cu a m atunci se obține
un paralelogram diagonala acestui
paralelogram este suma vectorilor
ab și ac prin urmare a m va fi
jumătate din ab plus AC din această
relație rezultă că 2 a m este egal
cu ab plus AC ridicăm la pătrat
aceasta egalitate și obținem 4
m la pătrat egal cu ab plus AC
la pătrat egal în continuare cu
AB la pătrat plus 2ab ori AC plus
a ce la pătrat mediană a m sau
notat cu m indice a prin urmare
patru ori m indice a la pătrat
va fi egal în loc de ape putem
scrie Ce mic în loc de ace avem
de mic plus doi ori produsul scalar
AB AC este egal cu modul de a b
ori modul de a c ori cosinusul
unghiului dintre cei doi vectori
prin urmare aici voi Scrie si ori
b ori cosinus de ei în continuare
aplicăm teorema cosinusului cosinus
de am este egal cu b pătrat plus
si pătrat minus a pătrat supra
2 b c și atunci din aceste două
relații obținem următoarea formulă
4m a pătrat egal cu c pătrat plus
b pătrat plus 2 b c iar un loc
de cosinus de a vă scrie relația
de mai jos b pătrat plus c pătrat
minus a pătrat supra 2 b c se simplifică
2bc și avem 4 m a la pătrat egal
b pătrat cu b pătrat este 2 b pătrat
apoi urmează 2 si pătrat minus
a pătrat 4 m pătrat va fi egal
cu 2 pe lângă b pătrat plus c pătrat
minus a pătrat iar de aici exprimând
m a la pătrat se obține 2 pe lângă
b pătrat plus c pătrat minus a
pătrat supra 4 am demonstrat prima
formulă din teorema medianei celelalt
de formule se demonstrează în mod
asemănător în continuare Haideți
să facem un exercițiu Se dă triunghiul
abc unde ab are lungimea egală
cu șapte unități AC are lungimea
egală cu trei unități b c este
egal cu 5 unități c m este mediană
și se cere să calculăm lungimea
segmentului cm aplicăm teorema
medianei cm la pătrat va fi egal
cu 2 pe lângă AC la pătrat plus
bc la pătrat minus a b la pătrat
totul supra 4 cm la pătrat va fi
egal cu 2 pe lângă 3 la a doua
plus 5 la a doua minus 7 la a doua
totul supra 4 egal cu 2 ori 9 plus
25 este 34 minus 49 totul supra
4 egal 234 este 68 minus 49 este
egal cu 19 supra 4 prin urmare
ce an va fi egal cu radical din
19 supra 2