Transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecimale. Periodicitate

am continuat cu transformările

de fracții ordinare în fracții

zecimale și am trecut aici în paranteză

cuvântul periodicitate și o să

vedem imediat ce înseamnă și vrem

să scriem pentru început ca fracție

zecimală această fracție ordinară

25 supra 3 pe pentru celelalte

fracții ne Întrebam pentru început

să vedem dacă le putem simplifica

sau amplifica în așa fel încât

să obținem la numitor o putere

a lui 10 în această fracție cum

este este ireductibilă asta înseamnă

că nu ne rămâne decât să vedem

dacă putem să o amplificăm cu un

număr care înmulțit cu 3 să ne

dea o putere a lui 10 apoi nu există

un asemenea număr natural prin

urmare singura variantă de a scrie

această fracție ordinară ca fracție

zecimală este de el împărțit pe

25 la 3:00 și exact asta vom face

Deci notăm AE și 25 împărțit la

trei și vedem ce obținem Păi 3

intră în 25 de 8 ori 8 ori 324

facem scăderea și obținem 1 Deci

am obținut câtul 8 și restul 1

însă nu facem împărțirea cu rest

ci continuam și vom muta aici trecem

primul 0 nesemnificativ am ajuns

în dreptul virgulei pe care nu

o coborâm la arest si unde o trecem

la cât și la rest coborâm acest

0 10 împărțit la 3 Păi 3 intră

în 10 de trei ori trei ori 3 ne

dă nouă bun facem scăderea vom

obține aici unu nu sa terminat

împărțirea Deci coborâm încă un

zero din nou 10 împărțit la 3 tot

de 3 ori 3 ori 3 ne dă nouă facem

din nou scăderea și obținem iarăși

1 Păi mai coborâm încă un zero

10 împărțit la 3 ne dă tot trei

trei ori trei nouă iarăși obținem

1 acum tot nu se terminat împărțirea

ar trebui să mai coborâm încă un

zero să știți că nu e neapărat

nevoie să trecem zerourile nesemnificative

aici deci putem să trecem 0 fără

să mai apară și aici și din Noua

avem 10 împărțit la a treia rășini

apare 3 3 ori 3 ne dă nouă iar

și obținem 1 și așa mai departe

pui de fapt și observăm întotdeauna

aici o să ne rămână 1 și aici vom

obține zecimală 3 Deci urmează

trei trei și așa mai departe e

bine acest număr observăm că nu

este un număr zecimal finit pentru

că el are un număr infinit de zecimale

diferite de zero zecimală 3 se

repetă la infinit acest număr se

numește număr zecimal periodic

Deci 8 trei trei și așa mai departe

Îl numim număr zecimal periodic

sau o fracție zecimală periodică

Ce înseamnă acum cuvântul periodic

periodice ceva care se repetă și

în această situație perioada este

reprezentată de cea mai scurtă

secvență de cifre care se repetă

în acest caz nu vom spune că perioada

este 333 sau numărul 33 ce perioadă

este 3d.com cea mai scurtă secvență

de cifre care se repetă Și aici

este 3 Cum notăm acest număr Păi

îl putem nota astfel avem opt virgulă

și în această paranteză vom trece

acele cifre care alcătuiesc perioada

în cazul nostru cifra trei deci

opt virgulă perioada trei și înțelegem

acest număr 8 3 și așa mai departe

e bine aceste numere care au perioada

imediat după virgulă se numesc

numere zecimale periodice simple

Deci 8 este un număr zecimal periodic

simplu sau altfel spus o fracție

zecimală periodică simplă o să

vedem că există și numere care

între virgulă și perioadă mai au

și alte numere acelea nu vor mai

fi periodice simple Haideți să

facem un alt exemplu 94 supra 42

ce putem să facem la această fracție

păi în primul rând observăm că

numărătorul și numitorul sunt ambele

numere pare asta înseamnă că putem

să simplificăm această fracție

prin Cât prin 2 dec vrem să o simplificăm

pentru că vom obține numere mai

mici și mai ușor să lucrăm cu ele

și avem așa 94 împărțit la 2 ne

dă 4742 împărțit la 2 ne dă 20

fracția pe care am obținut o Cum

este Păi este ireductibilă acum

Oare putem să o amplificăm cu un

număr astfel încât la numitor să

obținem o putere a lui 10 Păi nu

pentru că 21 este un multiplu de

3 Deci nu există un număr natural

care înmulțit cu 21 să ne dea o

putere a lui 10 atunci împărțim

pe 47 la 21 și voi scrie împărțirea

aici 47 de fapt 47 împărțit la

21 21 intră în 47 de două ori 2

ori 21 ne dă 42 facem scăderea

obținem aici 5 8 trecem virgulă

și trecem primul 0 nesemnificativ

am ajuns în dreptul virgula o trecem

la cât Și coborâm la rest 0 50

împărțit la 21 Păi ce număr înmulțit

cu 21 ne dă un număr apropiat de

50 dar mai mic decât el Păi 2 2

ori 21 ne dă 42 dacă am fi trecut

trei obținem trei ore 21 63 era

prea mare obținem aici 8 trecem

următorul 0 Deci 80 împărțit la

21 de câte ori Păi de două ori

e prea puțin putem să trecem trei

trei ori 21 ne dă 63 dacă am trece

patru am avea patru ori 2184 arhi

prea mare Deci cel bun este 310

minus 3 7 aici ne rămâne 7 minus

șase unu Deci 17 coborâm încă un

zero numai nevoie neapărat să îi

scriem deja am spus 170 împărțit

la 21 cât să trecem aici Păi putem

să avem opt opt ori 1 ne dă 8 8

ori 2 ne dă 16 obținem 168 de clar

că acesta e cel mai apropiat Deci

vom avea aici 2 coborâm acum 0

20 împărțit la 21 de câte ori intră

21 în 20 Păi de 0 ori Deci venim

și notăm 0 ori 21 ne dă 0 facem

scăderea 20 după ce am făcut diferența

procedând ca mai înainte coborâm

următorul 0 200 împărțit la 21

Păi când am înmulțit pe 21 cu 8

am obținut 168 Haideți să luăm

acum nouă nouă ori 1 ne dă nouă

nouă ori 2 ne dă 18 și vom obține

aici Unul aici unu și nimic 11

coborâm 0 110 împărțit la 21 Păi

dacă vom trece patru vom avea aici

84 Unica mic dar dacă trecem cinci

cinci ori unu ne dă cinci și cinci

ori doi Nevada 10 adică obținem

numărul 105 bun facem scăderea

și vom obține aici 5 nimic și nimic

coborând 0 și avem numărul 50 50

împărțit la 21 de câte ori intră

Păi de două ori 2 ori 21 ne dă

42 obținem aici 8:00 coborâm 0

80 Dar ce observam iar dacă urmărim

cu atenție împărțirea aici am avut

numărul 50 Da și la am obținut

pe doi după aia am obținut 88 mai

departe la fel sau pe trecut și

aici am au obținut 50 după aia

era normal că vom obține 80 ca

acum obține apoi 170 și așa mai

departe Deci Care este perioada

Păi în acest moment am avut aici

zecimală 2 va urma apoi zecimală

30 ma la 8 0 și așa mai departe

De fapt perioada este reprezentată

de această secvență de cifre pentru

că din momentul în care am obținut

50 aici ca mai sus vom obține din

nou aceeași secvență de cifre 2

3 8 și așa mai departe Deci venim

și notăm că avem doi virgulă și

trecem cifrele care alcătuiesc

perioada din 9 Avem un număr zecimal

periodic simplu sau o fracție zecimală

periodică simplă deci putem să

venim aici și să notăm 2 semn numerele

care sunt în perioada care sunt

în perioadă și acest număr este

tot un număr zecimal periodic simplu

sau o fracție zecimală periodică

simplă pentru că Iată perioada

oricât de multe cifre ar conține

Ea este imediat după virgulă Deci

avem un număr zecimal periodic

simplu alt exemplu 29 supra 6 în

primul rând vedem dacă această

fracție se poate simplifica Păi

6 se împarte exact la 2 și la 3

29 nu se împarte exact nici la

2:00 nici la 3:00 Deci avem o fracție

ireductibilă asta înseamnă că facem

direct împărțirea a 29 împărțit

la 6 si Haide să notăm alături

29 împărțit la 6 vedem cât obține

6 intră în 29 de 4 ori 4 ori șatene

de 24 de ce obținem aici 5 trecem

virgula și trecem primul zero nesemnificativ

virgula o trecem la cât Și coborâm

acest 0 50 împărțit la 6 Păi 8

8 ore 6 ne dă 48 Deci obținem aici

2 coborâm 0 20 împărțit la 6 6

intră în 20 de trei ori trei ori

6 ne dă 18 facem diferența ne dă

doi din nou coborâm 0 20 împărțit

la 6 pe tot trei trei ori 6 ne

dă 18 iar își vom obține 2 și așa

mai departe Din nou vom avea 20

din nou vom scrie aici 3 din nou

trei ori 6 ne dă 18 iar și vom

obține 2 etc deci de fapt Care

este numărul nostru avem 4 3 3 3

3 și așa mai departe cifra 3 se

repetă la nesfârșit Care este acum

perioada pentru că e clar că nu

e un număr zecimal finit și vorbim

de un număr zecimal periodic cu

alte cuvinte care este cea mai

scurtă secvență de cifre de după

virgulă care se repetă este Cumva

83 pe dacă ar fi 83 am avea numărul

4 opt trei opt trei Da deci perioada

să fie 83 cac nu e cazul nostru

pentru că nu ia că avem patru urmat

de opt și apoi cifra 3 se repetă

de fapt avem 4 perioadă 3 numărul

8 care se află între virgulă și

perioadă Alcătuiește partea ne

periodică și aici nu avem un număr

zecimal periodic simplu și un număr

zecimal periodic mixte sau fracție

zecimală periodică mixtă Deci când

între virgulă și perioadă avem

și alte cifre atunci obținem o

fracție zecimală periodică mixtă

un alt exemplu 12 supra 5 și 5

mai întâi vedem dacă putem să simplificăm

această fracție Păi 55 are ca divizori

sau se împarte exact la 5 și la

11:00 12:00 nu se împarte exact

nici la 5:00 nici la 11:00 Deci

e o fracție ireductibilă atunci

decembrie rekt la împărțire 12

împărțit la 55 bun să facem împărțirea

alături 12 împărțit la 55 Ce observăm

că împărțim un număr mai mic la

un număr mai mare Deci rezultatul

va fi 0 pentru că 55 intră în 12

de 0 ori 0 ori 55 de de 0 facem

diferența obținem 12 trecem acum

virgula și primul 0 nesemnificativ

virgula o vom trece la cât Și coborâm

acest 0 120 împărțit la 55 Păi

ce număr înmulțit cu 55 ne dă un

număr apropiat de 120 dar mai mic

decât al 2-pentena 2 ori 55 ne

dă 110 face mai diferența și vom

obține 10 coborâm 0 100 împărțit

la 55 Păi dacă trecem din nou doi

vom avea aici 110 e prea mare atunci

suntem nevoie să scriem unul unul

ori 55 ne dă 55 facem diferența

100 minus 55 ne dă 45 coborâm 0

450 împărțit la 55 ce numar înmulțit

cu 55 se apropie de 450 și mai

mic decât el dacă facem 55 ori

7 haide Scrie înmulțire aici 7

ori 5 din de 35 de cinci trei minute

șapte 5:35 cu trei trei și eu 385

dacă am face însă înmulțirea cu

8 55 înmulțit cu 8 atunci la Acest

rezultat de la 385 mai trebuie

să adăugăm 55 și vom avea aici

0 aici 13 cu 114 cu nu mint 440

e clar că acesta este cel puți

Deci venim aici notăm cu obținem

numărul 8 și să ștergem aici opt

ori 55 era 440 obținem aici 10

un din nou coborâm zero și observăm

că avem 100 împărțit la 55 odată

155 ne dă 55 facem diferența obținem

45 coborâm 0 însă ia Teka de fapt

450 de șalău obținuse dacă privind

cu atenție împărțirea de la ce

observăm că numerele încep să se

repete Păi de aici am avut 100

apoi 450 iarăși avem 100 iarăși

450 când am obținut numărul 100

am obținut aici zecimală A1 pentru

că unu ori 55 da da 55 după aia

la 450 am obținut zecimală 8 la

100 din 9 am obținut 1 la 450 din

nou vom obține 8 După aia va urma

din nou 1 din nou 8 și așa mai

departe cu alte cuvinte care este

perioada perioada este 18 Deci

vom avea așa 0 perioadă 18 Păi și

acest număr pe care îl am obținut

este tot un număr zecimal periodic

mic sau o fracție zecimală periodică

mixtă pentru că între virgulă și

perioadă avem și alte numere Haideți

acum să recapitulăm atunci când

ni se dă o fracție ordinară De

exemplu a supra b oricare ar fi

numitorul b Evident diferit de

0 pentru a scrie această fracție

ordinară ca fracție zecimală întotdeauna

putem să împărțim numărătorul la

numitor când împărțim două numere

naturale ce putem să obținem cu

alte cuvinte ce poate să fie câtul

Păi avem două variante Fi vom obține

un număr natural sau câtul poate

să fie un număr zecimal sau altfel

pus o fracție zecimală acum dacă

obținem o fracție zecimală ce posibilități

avem Păi Fi vom obține o fracție

zecimală finită fi una periodică

dacă cumva obținem periodică atunci

a poate să fie simplă sau mixtă

Și acum unde să dăm exemplu Deci

când împărțim două numere naturale

putem să obținem fie un număr natural

aici Și nu vom da exemple fie o

fracție zecimală finită adică un

număr zecimal finit Ce înseamnă

înseamnă că el este un număr care

se scrie cu virgulă și are un număr

finit de zecimale nenule de exemplu

1 cinci avem un număr finit de zecimale

sau putem să avem 100 34 nouă patru

cinci și șapte Nu ne interesează

cât de multe zecimale avem Important

este că avem un număr finit de

zecimale diferite de 0 dacă obținem

o fracție zecimală periodică simplă

care sunt acele fracții zecimale

periodice simple Păi după virgulă

urmează imediat perioada de exemplu

24 sute patruzeci și 9 sau 0 virgulă

perioadă 308 putem să trecem Evident

în perioada oricât de multe cifre

dori o fracție zecimală periodică

mixtă între virgulă și perioadă

mai avem și alte cifre De exemplu

0 perioadă 2015 sau 123 virgulă

4485 perioadă 3 Deci când împărțim

două numere naturale putem să obținem

fie un număr natural fie o fracție

zecimală care poate să fie finită

sau periodică simplă sau mixtă

acum când împărțim două numere

naturale și obținem o fracție zecimală

nu e întâmplător faptul că uneori

obținem o fracție zecimală finită

sau periodică simplă sau mixtă

și acest lucru depinde de împărțitor

cu alte cuvinte depinde de numitorul

aceste fracții și poate că întru

altă secvență video vom detalia

adică vom vedea Acum depinde câtul

pe care îl obținem de forma numitorului