Unghiul a două plane
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
în continuare să vedem Ce înțelegem
prin unghiul a două plane dar și
prin unghi diedru unghiul diedru
este figura geometrică în spațiu
formată de două semiplane care
au dreaptă în comun Iată avem aici
un semiplan aici un alt semiplan
și cele două semiplane au dreapta
d în comun această dreaptă pe care
le au în comun se numește muchia
diedrului iar cele două semiplane
se numesc fețele diedrului ce avem
aici este un unghi diedru cum determinăm
măsura unui asemenea unghi pe acest
unghi se măsoară prin unghiul său
plan Ce este acela unghi plan al
diedrului Iată unghiul plan al
unui diedru este format de două
semidrepte fiecare inclusă întru
un semiplan iar cele două semidrepte
sunt perpendiculare pe muchia diedrului
în același Deci ca să construim
un unghi plan al acestui unghi
drum trebuie să ne alegem un punct
pe dreapta pe muchia diedrului
și voi trece aici punctul o și
vom construit o semidreaptă inclusă
în acest semiplan iar această semidreaptă
trebuie să fie perpendiculară pe
dreapta d în acest punct o și a
doua semidreaptă este inclusă în
acest semiplan tot așa perpendiculară
pe dreapta d în punctul o unghiul
plan al diedrului este unghiul
format de aceste două semidrepte
deci vorbim de acest unghi măsura
unghiului diedru este dată de fapt
de măsura acestui unghi evident
că putem să construim o infinitate
de unghiuri plane pentru acest
diedru pentru băiat îl ne putem
alege un punct aici și tot așa
vândut c câte opt semidreaptă cum
am construit și aici însă unghiurile
care se vor obține Haideți Tutu
să construiesc acest unghi va fi
congruent cu acest unghi Deci prin
unghi plan al unui diedru înțelegem
un asemenea în construit exact
cum am făcut aici Ce înțelegem
prin unghiul a două plane și avem
aici două plane acest plan acesta
observăm că ele sunt plane secante
și aceasta este dreapta comună
Câte edre determină două plane
secante determină patru dietre
Iată avem aici un semiplan și cu
acest semiplan formează acest unghi
diedru apoi acest semiplan cu semiplanul
de jos formează al doilea unghi
diedru la fel acest semiplan cu
acesta formează al treilea unghi
diedru și acest semiplan cu cel
de sus formează al patrulea unghi
diedru Păi să construim câte un
unghi plan pentru fiecare din aceste
pietre și iată pupăm obține acest
desen și putem să Reprezentăm mai
clar unghiurile plane avem aici
un unghi plan Care este congruent
cu acesta cel care se află de des
8 și mai avem acest unghi care
e congruent cu cel de aici deci
practic Avem două măsuri de unghiuri
această măsură și aceasta cum procedam
când discutam despre unghiurile
formate de două drepte concurente
alegeam măsura alegeam unghiul
cu măsura cea mai mică absolut
la fel procedăm și aici Deci măsura
unghiului a două plane secante
este cea mai mică dintre măsurile
diedrelor formate de aceste planete
și pe desenul nostru se vede că
putem să alegem măsura acestui
unghi sau acest unghi ele sunt
lente Iată pentru că mă acestui
unghi are măsura mai mică decât
acesta Deci casă Determină măsura
unghiului făcut de două plane tot
așa ajungem la unghiul plan al
unui unghi diedru să facem acum
o aplicație Pe planul triunghiului
echilateral abc ab are 8 cm se
ridică perpendiculara de ei de
12 cm Deci triunghiul ABC este
triunghi echilateral toate lungimile
laturilor 8 cm și perpendiculara
Da are 12 cm se determină măsura
unghiului format de planele b a
d b a d de sunăm pe b cu d și c
a d c a d unii malcolm pe d cu
c și chiar putem să jurăm aceste
două plane ca să fie mai ușor de
identificat vorbim de acest clan
de acest plan se determină măsura
unghiului format de aceste două
plane pe mai întâi să vedem Care
este dreapta comună celor două
plane si foarte ușor de identificat
Iată planul b a d intersectează
planul c a d după ce dreaptă păi
se vede și din scriere și din desen
după dreapta a d bun acum trebuie
să construim un unghi plan al acestui
unghi format de cele două plane
cu alte cuvinte pe dreapta ad trebuie
ca în același punct să avem câte
două semidrepte perpendiculare
pe această dreaptă Evident semidreptele
să fie fiecare inclusă în unul
din cele două plane Cum facem asta
vă las puțin timp să vă gândiți
Păi nici mie am nevoie să facem
vreo construcție pentru că ele
sunt deja construite Iată mai știm
că d a este perpendiculară pe planul
a b c dar a b și a c sunt incluse
în planul abc asta înseamnă că
d a este perpendiculară și pe AB
De ce avem aici Unul de 90 de grade
și perpendiculară și pe ei ce voi
face aici și a mai mare ca să se
vadă și litera A bun Haideți să
notăm atunci Deci am obținut că
chiar să scriem complet de a este
perpendiculară pe planul abc ab
și ac sunt incluse în acest plan
abc Deci aici avem inclus rezultă
că dreapta d este perpendiculară
deci de a perpendiculară și pe
AB și da pandy cu Lara și pe ace
Sau dacă vreți ca să ne fie mai
clar putem să trecem invers că
a b perpendiculară pe da chiar
o să șterg Deci o să trec așa a
b perpendiculară pe d a și același
lucru îl voi face și aici deci
a c perpendiculară pe d a a c perpendiculară
pe d a ce am obținut aceasta este
muchia comună a celor două plane
a b perpendiculară pe a d a c perpendiculară
tot pe Ade înseamnă că măsura unghiului
P scrie aici măsura unghiului făcut
de planele V a d și c a d Cu cât
este egală Păi am construit de
fapt erau deja construit aceste
semidrepte egală cu măsura unghiului
format de ab și ac dreptele ab
și ac de putem numit te putem considera
a fi drepte fie semidrepte alte
cuvinte avem măsura unghiului b
a c Păi câte grade are acest unghi
are 60 de grade pentru că triunghiul
ABC este un triunghi echilateral
de c egal mai departe cu 60 de
grade și am determinat măsura unghiului
făcut de aceste două plane pentru
subpunctul b mic se determină măsura
unghiului format de planele abc
abc Deci acest plan de la bază
și b d c b d c bun.com Determină
măsura unghiului e făcut de aceste
două tot așa pe muchia comună Care
este b c ușor de văzut că ebc trebuie
să construim în același punct două
semidrepte perpendiculare pe BC
și Atenție nu o construim la întâmplare
ați văzut că uneori ele sunt deja
construite Cum a fost la subpunctul
a mic dar unde ori e nevoie chiar
să le construim velociped așa puțin
timp să vă gândiți Păi ce fel de
triunghi este triunghiul a b c
este un triunghi echilateral Ce
fel de triunghi este triunghiul
b d c Haideți să vedem avem aici
triunghiurile b a d și c a d știm
deja că aceste două triunghiuri
sunt triunghiuri dreptunghice avem
aici un unghi de 90 de grade la
fel și aici și ce au aceste triunghiuri
Păi au ei de latură comună și a
b este congruent cu a putem să
le tăiem aici cu o liniuță Deci
avem așa ei de latură comună voi
prescurta așa AB este egal cu ace
pentru că triunghiul ABC este triunghi
echilateral cum avem Două triunghiuri
dreptunghice Ce rezultă din cazul
catetă catetă înseamnă că triunghiurile
sunt congruente d și triunghiul
b a d este congruent cu triunghiul
c a d Ce rezultă prin urmare de
aici că b d este congruent cu d
c d c segmentul b d lungimea segmentului
BD este egală cu lungimea segmentului
DC Păi asta înseamnă că triunghiul
b d c este un triunghi isoscel
Deci notăm triunghiul b d c este
isoscel Păi deja lucrurile sunt
mult mai simple pentru că avem
aici un triunghi social iar triunghiul
a b c este un triunghi echilateral
atunci Cum construim cele două
drepte sau semidrepte perpendiculare
pe latura bc pe Alice în punctul
M mijlocul segmentului b c Deci
Fie m astfel încât BM este egal
cu m c și Avem așa triunghiul a
b c este un triunghi echilateral
d și triunghiul ABC este echilateral
o să prescurtez așa de m este egal
cu MC și Ce rezultă de aici că
a m este și înălțime în triunghiul
b a c Iată chiar o să trec aici
că avem un unghi drept Deci rezultă
că a m perpendiculară pe BC absolut
la fel ce vom obține Păi de vreme
ce avem un triunghi isoscel iar
m este mijlocul laturii bc înseamnă
că dm Iată este și ea perpendiculară
pe latura bc Deci venim și notăm
triunghiul b d c este isoscel b
m este egală cu m Ce înseamnă că
d m este perpendiculară pe b c
și deja lucrurile sunt foarte simple
pentru că avem Latura comună BC
și pe această latură comună în
punctul M avem de m și a m perpendicular
pe b c rezultă că Haideți să scriu
că cele două plane b d c și planul
a b c se intersectează în după
dreapta BC Deci rezultă din toate
aceste trei relații că măsura unghiului
format de planele vbc și ABC este
egală să vedem dacă avem spațiu
suficient cu măsura unghiului format
de dreptele d a m adică cu măsura
acestui unghi Iată care se vede
aici de m a și acum nu ne rămâne
decât să determinăm măsura acestui
unghi de m a Ce fel de triunghi
este triunghiul d a m d a este
perpendiculară pe planul a b c
a m este inclusă în acest plan
înseamnă că d a este Nicu Lara
pe a m nu voi mai facem aici semn
de perpendicularitate ca să nu
încărcăm prea mult desenul Deci
vom nota așa că da Deci d a perpendicular
pe a m înseamnă că avem triunghiul
d a m un triunghi dreptunghic cu
măsura unghiului d a m de 90 de
grade în acest triunghi dreptunghic
uitat mai vrem să determinăm măsura
acestui unghi Da de m a păi fiind
aici un triunghi dreptunghic în
acest unghi a atunci putem să aplicăm
de exemplu tangenta acestui unghi
pentru că noi cunoaștem lungimea
catetei Da este de 12 cm și putem
să determinăm și lungimea aceste
înălțimi A AM este înălțime în
triunghiul b a c Cu cât este egală
Păi știi că latura triunghiului
este de 8 cm Deci pentru că imi
perpendiculară pe BC multe si aici
relația 1 din relația 1 rezultă
că înălțimea în triunghi echilateral
este egală cu acest raport avem
lungimea laturii care La noi este
8 cm ori radical din 3 supra 2
deci vom avea așa 8 radical din
3 pe 2 adică 4 radical din 3 Dacă
nu Mai țineți minte A formula puteți
să deduceți lungimea lui lungimea
înălțimii a m din triunghiul a
m c avem un triunghi dreptunghic
aici avem 4 cm aici 8 cm aplicăm
Pitagora și determină Anca a m
are întradevăr 4 radical din 3
cm și acum aplicăm tangenta în
acest triunghi dam2 scrie aici
tangenta unghiului d m a d și tangenta
unghiului d m a este egală cu cateta
opusă unghiului Adică da supra
cateta alăturată adică a m înlocuim
și vom avea așa dar a 12 cm Deci
12 supra a m 4 radical din 3 și
vom obține de fapt radical din
3 Păi tangenta cărui unghi este
egală cu radical din 3 tangență
unui unghi cu măsura de 60 de grade
de C rezultă că măsura unghiului
d m are 60 de și sa încheiat pentru
că Iată măsura acestui unghi de
m a Care este de 60 de grade reprezintă
de fapt măsura unghiului făcut
de cele două plane