Triunghi. Definitie. Clasificare. Proprietati

Categorie: Geometrie plană
Tag-uri:     triunghi definitie triunghi  clasificare triunghiuri triunghi echilateral  triunghi isoscel  triunghi scalen  clasificarea triunghiurilor in functie de laturi clasificarea triunghiurilor in functie de unghiuri triunghi ascutitunghic  triungh

Susține Lectii-Virtuale!

Triunghiul

Triunghiul este figura geometrică dată de reuniunea segmentelor închise determinate de trei puncte distincte necoliniare. Este una dintre formele poligonale fundamentale ale geometriei.



Triunghiul este o figură plană închisă, formată din trei laturi și trei vârfuri. Cele trei laturi ale unui triunghi sunt segmente, iar vârfurile sunt punctele de intersecție ale laturilor.

Vârfurile unui triunghi se notează cu litere mari: A, B, C, M, N, … iar triunghiul se notează ținând cont de cele trei vârfuri.

Cele trei laturi ale triunghiului sunt segmentele AB, BC și AC, care se pot nota și cu litere mici, ținându-se seama de vârful opus. Astfel, latura AB se opune vârfului C și aceasta se va nota cu litera c. Latura BC se opune vârfului A și o vom nota cu a, iar latura AC se opune vârfului B și o vom nota cu b.

Fiecare pereche de laturi ale triunghiului formează un unghi interior, prin urmare un triunghi are trei unghiuri interioare. Cele trei unghiuri ale triunghiului ABC sunt: ∡ABC (sau mai simplu ∡B), ∡BAC (sau ∡A), ∡ACB (sau ∡C).

[ A B ] ∪ [ B C ] ∪ [ C A ] = △ [ A B C ]

• punctele A, B, C se numesc vârfurile triunghiului.
• [AB], [BC], [AC] se numesc laturile triunghiului.
• ∠ B A C , ∠ A B C , ∠ A C B se numesc unghiurile (interne) triunghiului.

Clasificarea triunghiurilor

Clasificarea triunghiurilor se face:
 

• în funcție de lungimile laturilor
•  după felul unghiurilor

1. Clasificarea triunghiurilor în funcție de laturi

În funcție de lungimile laturilor, triunghiurile pot fi:
 

• triunghi oarecare (scalen) – are laturile de lungimi diferite;
• triunghi isoscel – are două laturi congruente; cea de-a treia latură se numește bază;
• triunghi echilateral – are toate cele trei laturi congruente.

Definiții:

Un triunghi cu toate laturile congruente se numește triunghi echilateral.
Un triunghi cu două laturi congruente se numește triunghi isoscel.
Un triunghi care are laturile de lungimi diferite se numește triunghi scalen (sau oarecare).

2. Clasificarea triunghiurilor în funcție de unghiuri

În funcție de măsurile unghiurilor, triunghiurile pot fi:

• triunghi dreptunghic – are un unghi drept (de 90 grade); laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză;
• triunghi ascuțitunghic – are toate unghiurile ascuțite (mai mici de 90 grade);
• triunghi obtuzunghic – are un unghi obtuz (mai mare de 90 grade).

Definiții:

Triunghiul cu toate unghiurile ascuțite este numit triunghi ascuțitunghic.
Dacă unul dintre unghiuri este drept, triunghiul este denumit dreptunghic.
Triunghiul cu un unghi mai mare de 900 se numește triunghi obtuzunghic.

Proprietățile triunghiurilor:

Proprietatea 1. În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor este de 180°.


Proprietatea2. Un unghi exterior unui triunghi are măsura egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare, neadiacente cu el.

Un unghi exterior unui triunghi este unghiul format de o latură a triunghiului cu prelungirea altei laturi.
Un triunghi are șase unghiuri exterioare. Fiecare unghi exterior este suplementul unghiului interior alăturat.

Reguli, proprietăți, teoreme aplicabile

• În orice triunghi suma măsurilor unghiurilor interne este de 180°.
• Un triunghi are șase unghiuri externe, congruente două câte două.
• Într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
• Într-un triunghi dreptunghic unghiurile ascuțite sunt complementare.
• Într-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare decât oricare din lungimile celor două catete.
• Într-un triunghi oarecare, laturii mai mari i se opune un unghi mai mare decât cel care se opune laturii mai mici.
•  Într-un triunghi ascuțitunghic centrul cercului circumscris se găsește în interiorul triunghiului.
• Într-un triunghi obtuzunghic centrul cercului circumscris se găsește în exteriorul triunghiului.
• Într-un triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei.
• Cercul înscris într-un triunghi intersectează (atinge) fiecare latură într-un singur punct, numit punct de tangență.
• Într-un triunghi se pot construi trei linii mijlocii.
• Într-un triunghi linia mijlocie este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului, și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.
• Triunghiul având ca laturi cele trei linii mijlocii dintr-un triunghi se numește triunghi median.
• Ortocentrul (punctul de intersecție al celor trei înălțimi) unui triunghi ascuțitunghic se găsește în interiorul triunghiului.
• Ortocentrul unui triunghi obtuzunghic se găsește în exteriorul triunghiului.
• Ortocentrul unui triunghi dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept.
• Teorema lui Thales: în orice triunghi, o paralelă dusă la una din laturi împarte celelalte două laturi, sau prelungirile acestora, în segmente proporționale.
• Reciproca Teoremei lui Thales: în orice triunghi, dacă o dreaptă determină pe două laturi, sau pe prelungirile acestora, segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură.
• Teorema bisectoarei: bisectoarea unui unghi al unui triunghi oarecare determină pe latura opusă segmente proporționale cu laturile care formează unghiul.
• Teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.
•  Teorema lui Pitagora generalizată: într-un triunghi oarecare, pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.[3]
• Teorema lui Ceva: într-un triunghi oarecare ABC, dacă D, E, F sunt trei puncte diferite de vârfurile triunghiului, aflate respectiv pe laturile acestuia [BC], [CA], [AB], dreptele AD, BE și CF sunt concurente dacă și numai dacă: D B D C . E C E A . F A F B = 1
• Teorema lui Cesàro: într-un triunghi cu laturile a, b, c, are loc relația: m a 4 + m a 4 + m c 4 = 9 16 ( a 4 + b 4 + c 4 ), unde ma, mb și mc sunt lungimile medianelor.[5]
•  Într-un triunghi oarecare, măsura unui unghi exterior triunghiului este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare nealăturate. Un unghi exterior unui triunghi este mai mare decât oricare din unghiurile interne nealăturate.