Bisectoarea unui unghi. Concurența bisectoarelor interioare ale triunghiului
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
bisectoarea unui unghi concurență
a bisectoarelor unghiurilor unui
triunghi sunt mici se află bisectoare
se numește bisectoarea unui unghi
o semidreaptă cu originea în vârful
unghiului are în parte unghiul
în două unghiuri congruente avem
un unghi aob și am construit cu
ajutorul raportorului semidreapta
om aceasta este bisectoarea unghiului
ia împarte unghiul în două unghiuri
congruente acestea sunt a o m și
m o b imediat comandă și o altă
modalitate de construcție a bisectoarei
unui unghi Folosind compasul în
continuare o să dăm o proprietate
referitoare la punctele situate
pe bisectoarea unui unghi au proprietatea
sub forma unei teoreme directe
și a teoreme reciproce teorema
directă este următoarea dacă un
punct aparține bisectoarei unui
unghi atunci distanțele de la punct
la laturile unghiului sunt egale
și teorema reciprocă dacă distanțele
de la un punct laturile unui unghi
sunt egale atunci punctul aparține
bisectoarei unghiului m Demonstrați
mai întâi teoremă directă se știe
că punctul M aparține bisectoarei
unghiului AOB Adică o m este bisectoare
înseamnă că unghiul a o m este
congruent cu unghiul b o m și trebuie
să arătăm că distanțele de la m
la laturile unghiului sunt egale
mari amintesc că distanța de la
un punct la o dreaptă este perpendiculară
dusă din acel punct pe dreaptă
am dus europeni perpendiculară
pe a o și m q perpendicular pe
OB trebuie să arătăm că aceste
două distanțe sunt congruente Așadar
în concluzie îmi scrie mp congruent
cu mq demonstrație pentru a demonstra
congruență acestor două segmente
le vom încadra în două triunghiuri
o Să arătăm că triunghiurile pe
om și q om sunt congruente observăm
că acestea sunt triunghiuri dreptunghice
deoarece ducând acestei perpendiculare
sau Formați două unghiuri drepte
unghiurile p și q scrie că măsura
unghiului mps este egală cu măsura
unghiului m q o țiganul mai departe
cu 90 de grade Deci trebuie să
demonstrăm congruență a două triunghiuri
dreptunghice observăm că aceste
două triunghiuri au o latură comună
aceasta este om iar om este ipotenuza
în cele două triunghiuri om este
congruent cu om fiind o latură
comună și mai știm din ipoteză
că unghiul a o m este congruent
cu unghiul b o m și atunci implicit
și unghiul pe om va fi congruent
cu unghiul om deoarece semidreptele
o p și o a coincid la fel și semidreptele
o q și o b unghiul p o m este congruent
cu unghiul q o m din ipoteză in
aceste două relații va rezulta
conform cazului de congruență ipotenuză
unghi a triunghiul p o m este congruent
cu triunghiul q om iar din congruență
acestor două triunghiuri rezultă
și congruența segmentelor mp și
mq am demonstrat că dacă un punct
aparține bisectoarei unui unghi
atunci distanțele de la punct la
laturile unghiului sunt egale acum
Să demonstrăm teorema reciprocă
avem un punct M situat în interiorul
unghiului AOB și știm că distanțele
de la punctul M la laturile unghiului
sunt egale trebuie să arătăm că
OM este bisectoarea unghiului nu
scrie nipote zise că m p este perpendiculară
pe a o mq este perpendiculară pe
OB știind că acestea două distanțe
sunt congruente m p este congruent
cu mq și trebuie să arătăm că o
m este bisectoare adică va trebui
să arătăm că unghiul a o m este
congruent cu unghiul b o m demonstrație
pentru a demonstra că aceste două
unghiuri sunt congruente numai
Arătați că triunghiurile pe om
și q om sunt congruente acestea
sunt triunghiuri dreptunghice deoarece
măsura unghiului m p o este egală
cu măsura unghiului m q o și egal
cu 90 de grade cele două triunghiuri
dreptunghice au Latura comună om
scrie că o m este congruent cu
om fiind o latură comună și mai
știm din ipoteze că m p este congruent
cu m q acesteia fiind catetei în
cele două triunghiuri m p congruent
cu mq din ipoteza din aceste două
relații va rezulta conform cazului
de congruență ipotenuză catetă
pe cele două triunghiuri sunt congruente
triunghiul p o m este congruent
cu triunghiul q om A rezultat că
unghiul pe om este congruent cu
unghiul q om adică unghiul a o
m va fi congruent cu unghiul b
o m pentru că semidreptele o p
și o b coincid de asemenea semidreptele
ochiul și ob coincid așa dar am
arătat că OM este bisectoarea unghiului
AOB cele două teoreme pot fi enunțate
sub forma unei singure teoreme
cu ajutorul expresiei Dacă și numai
dacă aceasta este proprietatea
bisectoarei unui unghi un punct
aparține bisectoarei unui unghi
Dacă și numai dacă este egal depărtat
de laturile unghiului în continuare
să vedem cum putem construi bisectoarea
unui unghi cu ajutorul compasului
mai întâi desenam un unghi aob
apoi construim un cerc cu centrul
în punctul o cercul intersectează
Unghiul aob în punctele m și n
apoi construim un alt cerc sau
arc de cerc cu centrul în punctul
m și având o rază suficient de
mare și un cerc cu centrul în punctul
n având aceeași rază cu Cercul
anterior cele două cercuri se vor
intersecta întru un punct pe care
îl am notat cu p un intre ocupi
obținem bisectoarea unghiului AOB
așa dar aceasta este o altă modalitate
de construcție a bisectoarei unui
unghi în continuare o să discutăm
despre concurența bisectoarelor
într un triunghi un triunghi abc
putem să construim trei bisectoare
am notat cu a a prim bisectoarea
unghiului A cu B B prim bisectoarea
unghiului b și cu c c prim bisectoarea
unghiului c cele trei bisectoare
se intersectează în punct pe care
îl am notat cu a având în vedere
că e este situat pe bisectoarea
unghiului A al va fi egal depărtat
de laturile unghiului a d distanța
de la e la AB este egală cu distanța
de la e la AC mai exact segmentele
i m și IP vor fi congruente este
situat și pe bisectoarea unghiului
c și atunci distanțele de la e
la laturile unghiului c vor fi
congruente adică e p este congruent
cu n constatăm Așadar că cele trei
segmente e m e p ș i e n sunt congruente
înseamnă că putem construi un cerc
cu centrul în punctul E și având
ca rază oricare dintre cele trei
segmente acest cerc se va numi
cercul înscris în triunghi Așadar
rețineți această proprietate bisectoarele
unghiurilor unui triunghi sunt
concurente într un punct notat
de obicei cu e și numiți centrul
cercului înscris în triunghi în
continuare o să facem o aplicație
Fie d un punct interior triunghiului
ABC dacă AB este congruent cu ac
și d d este congruent cu d c atunci
arătați că distanțele de la punctul
D la laturile ab și ac sunt egale
am construit un triunghi abc Acesta
este un triunghi isoscel deoarece
AB este congruent cu AC în interiorul
triunghiului fixăm un punct d astfel
încât d b să fie congruent cu dc
am distanța de la D la latura ab
pe care am notat tocul de m și
distanța de la D la latura AC aceasta
este de n trebuie să arătăm că
BM este congruent cu DN Vezi că
e mai întâi ipoteza avem triunghiul
abc astfel încât ab să fie congruent
cu ac și un punct d astfel încât
d b să fie congruent cu DC trebuie
să arătăm că distanța de la punctul
D la latura AB este egală cu distanța
de la punctul D la latura AC demonstrație
sămânța în construcție a pe care
am făcută și e de m perpendiculară
pe ab atunci distanța de la punctul
D la AB va fi de m Fie d n perpendiculară
pe AC rezultă că distanța de la
punctul D la AC este de n îmi trebuie
să arătăm că de m este congruent
cu DN mama arăta că AD este bisectoarea
unghiului BAC M a e Demonstrati
anterior Dacă punctul d aparține
bisectoarei înseamnă că distanțele
de la punctul D la laturile unghiului
vor fi egal Așadar vom arăta că
unghiul b a d este congruent cu
unghiul c a d pentru a demonstra
congruență acestor două unghiuri
vă mai arăta că triunghiurile ABD
și acd sunt congruente o pară în
triunghiurile ABD și acd știm că
AB este congruent cu ac din ipoteză
tot din ipoteză știind că DB este
congruent cu DC și putem observa
că triunghiurile acestea au o latură
comună aceasta este latura ad adi
este congruent cu ad fiind o latură
comună A rezultat din cele trei
relații ca triunghiul ABD este
congruent cu triunghiul acd conform
cazului de congruență latura latura
latura congruență acestor triunghiuri
implică și congruența unghiurilor
b a d și ce Ade dacă cele două
unghiuri sunt congruente înseamnă
că AD este bisectoarea unghiului
BAC și conform teoremei demonstrat
anterior va rezulta că distanța
de la punctul D la latura ab a
fi egală cu distanța de la punctul
D la latura AC va rezulta atunci
că de m este congruent cu DN