Metoda coeficienților nedeterminați
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom

Transcript
în această lecție o să calculăm
o sumă folosind metoda coeficienților
ne Determinați și apoi o să demonstrăm
rezultatul obținut prin metoda
inducției matematice și avem această
sumă 1 supra 1 6 plus 1 supra 6
ori 11 plus 1 supra 11 ori 16 plus
puncte puncte plus 1 supra 5 n
minus 4 pe lângă 5n plus 1 mai
întâi o să scriem această sumă
restrâns cu ajutorul simbolului
Sigma și o să avem suma din 1 supra
5 k minus 4 pe lângă 5 k plus unu
pentru că apa rând valori de la
1 până la n acesta va fi termenul
general al sumei este destul de
dificil să calculăm această sumă
formă Care este scrisă Și atunci
pentru a găsi o formulă de calcul
o să scriem termen general ca o
sumă de două fracții 1 supra 5
k minus 4 pe lângă 5 k plus unu
o să scriem această fracție ca
o sumă de două fracții fiecare
având la numitor unul dintre factorii
acestui produs prima fracție va
avea numitorul 5 k minus 4 iar
a doua fracție va avea numitorul
5 k plus unu nu cunoaștem deocamdată
numărătorii acestor fracții și
atunci o să îi notăm cu a și b
în continuare ne propunem să aflăm
acești coeficienți a și b iar metoda
prin care o sa obținem se numește
metoda coeficienților ne Determinați
imediat o să înțelegeți De ce a
vrut să scriem această fracție
acest termen general ca o sumă
de două fracții dacă am dată amplificăm
aceste fracții ca să le aducem
la numitor comun prima fracție
se va aplica cu 5 k plus unu și
a doua fracție cu 5 k minus 4 și
atunci obținem o fracție având
numitorul 5 k minus 4 pe lângă
5 k plus unu iar la numărător avem
cinci a k plus a plus 5 b k minus
4 b egal acum o să realizăm termenii
grupa mai întâi termenii ce îl
conțin pe k și chiar o să îl dăm
pe k factor comun și avem 5-a plus
5b totul ori k plus a minus 4 b
și totul supra 5 că apa minus 4
pe lângă 5 k plus 1 avem această
egalitate de fracții observăm că
cele două fracții au același numitor
pentru ca ele să fie egale trebuie
să aibă și același numărător prin
urmare o să egalăm numărătorul
aceste fracții cu 1 Deci o să avem
5-a plus 5b ori ca apa plus a minus
4 b egal cu 1 și acum să ne uităm
la această expresie observăm că
în membrul stâng avem un termen
ce îl conține pe k însă în membrul
Drept nu avem termeni cu k prin
urmare coeficientul lui k din membrul
drept este 0 și atunci Putem să
scriem acest număr 1 ca fiind 0
ori k plus 1 ca să avem o egalitate
va trebui să egalăm coeficientului
ca apa din membrul stâng cu coeficientul
lui că apa din membrul drept Așadar
5-a plus 5b trebuie să fie egal
cu 0 Iar acest termen A minus 4
b trebuie să fie egal cu 1 și atunci
o să impunem aceste două condiții
sub forma unui sistem de Două ecuații
cu două necunoscute prima ecuație
va fi 5-a plus 5 b egal cu 0 și
a doua ecuație A minus 4 b egal
cu 1 echivalent Dacă împărțim prima
ecuație la 5 obținem a plus b egal
cu 0 de unde a este egal cu minus
b îl Înlocuim pe a în a doua ecuație
și avem minus b minus 4 b egal
cu 1 echivalent a egal cu minus
b minus 5 b egal cu 1 echivalent
a egal cu minus b b va fi egal
cu minus 1 supra 5 echivalent dacă
a este minus b minus minus 1 supra
5 va fi 1 supra 5 Așadar a este
egal cu 1 pe 5 b egal cu minus
1 supra 5 am obținut acești doi
coeficienți a și b și atunci Revenim
la termenul general această fracție
1 supra 5 km minus 4 pe lângă 5
k plus 1 se va scrie astfel în
loc de ei o să scriem 1 supra 5
totul supra 5 kpa minus 4 în loc
de Ba minus 1 pe 5 îl scriem pe
minus aici 1 supra 5 totul supra
5 k plus 1 în continuare putem
să dăm factor comun pe 1 supra
5 pe lângă 1 supra 5 k minus 4
minus 1 supra 5 k plus 1 am reușit
să scriem așa dar termenul general
ca om diferență de două fracții
și acum să revenim la suma noastră
suma esti era sumă din acest termen
general adică suma din 1 pe 5 pe
lângă 1 supra 5 km minus 4 minus
1 supra 5 k plus 1 pentru că apa
de la 1 până la n 1 supra 5 este
constantă și putem să trecem Constanta
în fața sumei Deci o să avem 1
pe 5 ori suma din 1 supra 5 k minus
4 minus 1 supra 5 k plus unu pentru
că apa de la 1 până la n și acum
se scrie ma ceastă sumă desfășurat
atenție fiecare termen al sumei
este o diferență de două fracții
Deci o să avem 1 supra 5 pe lângă
primul termen al sumei se obține
pentru k egal cu unu și o să avem
1 supra 5 ori 1 minus 4 adică 1
supra 1 minus 1 supra 5 ori unu
plus unu șase acesta este primul
termen al sumei plus cel de al
doilea termen al sumei se obține
pentru k egal cu doi avem cinci
ori doi 10 minus 4 6 deci 1 pe
6 minus 5 ori 2 10 plus 111 1 supra
11 las așa mai departe Haideți
să scriem și penultimul termen
al sumei acesta se obține înlocuind
pe k cu n minus 1 la numitorul
primei fracții o să avem 5 pe lângă
n minus 1 minus 4 adică 5 n minus
5 minus 4 5 n minus 9 iar la numitorul
celei de a doua fracții o să avem
5 pe lângă n minus 1 plus 1 adică
5 n minus 5 plus 1 înseamnă 5 n
minus 4 și atunci aici o să scrie
1 supra 5 n minus 9 minus o să
șterg aici 1 supra 5 n minus 4
și ultimul termen al sumei înlocuind
pe capacul n și avem 1 supra 5
n minus 4 minus 1 supra 5n plus
1 și închidem paranteza dreapta
penal Acum putem să observăm că
se reduc aici niște termeni de
fapt acesta a fost și motivul pentru
care am vrut să scriem la început
termenul general al sumei ca o
sumă de două fracții și atât minus
1 supra 6 se reduce cu plus 1 supra
6 minus 1 supra 11 se va reduce
cu următorul termen putem chiar
să verificăm în cazul în care k
este egal cu 3 o să avem 1 supra
5 ori 3 15 minus 4 11 Deci următorul
termen aici ar fi plus 1 supra
11 care se reduce cu minus 1 supra
11 apoi fracția minus 1 supra 5
în minus 4 se reduce cu plus 1
supra 5 în minus 4 Așadar au loc
acestei reduceri dar ca să evidențiem
mai clar acest lucru O să scriem
termenii acestei sume unul sub
altul și avem unul pe 5 pe lângă
1 pe 1 minus 1 pe 6 acesta e primul
termen al doilea termen 1 pe 6
minus 1 supra 11 puncte puncte
următorul termen este 1 supra 5
n minus 9 minus 1 supra 5 n minus
4 urmează 1 supra 5 n minus 4 și
minus 1 supra 5n plus 1 iar Aici
avem o sumă vinil minus 1 pe 6
se reduce cu plus 1 pe 6 minus
1 pe 11 se reduce cu termenul următor
Acum putem să intuim faptul că
această fracție 1 supra 5 n minus
9 se va reduce cu fracția situată
înaintea ei Așadar intuim faptul
că aici unde avem puncte puncte
se reduc toți termenii apoi fracția
minus 1 supra 5 în minus 4 se reduce
cu plus 1 supra 5 în minus 4 și
acum să vedem ce mai rămâne avem
unul pe 5 pe lângă o să rămână
primul termen și ultimul termen
1 supra 1 minus 1 supra 5n plus
1 egal cu 1 supra 5 ori în paranteză
aducem la numitor comun avem 5
n plus 1 minus 1 supra 5n plus
1 egal 1 supra 5 ori 5 n supra
5n plus 1 egal se simplifică 5
cu 5 și obțin m n supra 5n plus
1 și iată că am găsit o formulă
de calcul însă noi aici am presupus
că se reduc toți acești termeni
din zona în care am scris puncte
puncte prin urmare pentru a fi
sigur că această formulă de calcul
la care am ajuns Este corectă trebuie
să demonstrăm rezultatul obținut
prin metoda inducției matematice
o să scrie în rezultatul obținut
mai sus Deci am găsit n supra 5n
plus 1 și în cele ce urmează o
să demonstrăm această formulă prin
metoda inducției matematice o să
ștergem si descrise mai jos prima
etapă a inducției este etapa de
verificare verificăm dacă formula
obținută este corectă în cazul
în care n este egal cu 1 pentru
n egal cu 1 această sumă are un
singur termen adică primul 1 supra
unor 6 și acum Înlocuim pe an în
formula găsită cu unu obținem 1
supra 5 ori 1 plus 1 echivalent
1 supra 6 egal cu 1 supra 6 am
găsit o relație adevărată Așadar
iată că formula găsită Este corectă
în cazul în care n este egal cu
1 a doua etapă a inducției demonstrația
arătăm că are loc implicația a
p d k implică pdk plus 1 oricare
ar fi ca Pa mai mare sau egal cu
1 o Să presupunem că propoziția
pdk este adevărată și demonstrăm
că propoziția pdk plus 1 este o
propoziție adevărată să scrie mai
întâi propoziția pe dk înlocuind
pe n cu k și avem 1 supra unor
6 plus 1 supra 6 ori 11 plus puncte
puncte plus ultimul termen 1 supra
5 k minus 4 pe lângă 5 k plus 1
este egal cu k supra 5 k plus 1
2 să punem că aceasta este propoziție
adevărată acum să scriem propoziția
pdk plus 1 aceasta se obține înlocuind
pe n cu k plus unu o să avem 1
supra 1 ori 6 plus 1 supra 6 ori
11 plus puncte puncte scriem și
penultimul termen care se obține
înlocuind pe n cu k și scrie ma
chestie penultim termin pentru
a evidenția faptul că în cadrul
propoziției pdk plus 1 regăsim
propoziția pdk Deci avem 1 supra
5 k minus 4 pe lângă 5 k plus 1
și ultimul termen 1 supra înlocuim
aici pe n cu k plus 1 să vedem
ce obținem avem 5 pe lângă k plus
1 minus 4 Deci o să fie 5 k plus
5 minus 4 adică 5 k plus una și
în a doua paranteză o să avem cinci
pe lângă k plus unu plus unu înseamnă
5 k plus cinci plus unu deci 5
k plus 6 aici o să scriem 5 k plus
1 pe lângă 5 k plus 6 egal cu k
plus 1 supra 5 k plus cinci plus
unu adică 5 k plus 6 și acum ne
propunem Să arătăm că această propoziție
este propoziție adevărată observăm
Așadar că în cadrul propoziției
pdk plus 1 ne găsim această sumă
din moment ce pdk este adevărată
înseamnă că în locul acestei sume
Putem să scriem formula găsită
pentru pdk să vedem ce obținem
o să avem k supra 5k plus 1 urmează
acest termen Plus 1 supra 5 k plus
1 pe lângă 5 k plus 6 egal amplificăm
prima fracție cu 5 k plus 6 și
o să avem k pe lângă 5 k plus 6
plus 1 totul supra 5 k plus 1 pe
lângă 5 k las 6 Lidl desfacem paranteza
5k pătrat plus 6 k plus 1 supra
5 k plus 1 pe lângă 5 k plus 6
inel la numărător avem o expresie
pe care o so Descompune în factori
pentru a putea face niște simplificări
pentru aceasta în loc de 6k o să
scriem 5 k plus k și avem 5 k pătrat
plus 5 k plus k plus 1 totul supra
5 k plus 1 pe lângă 5 k plus 6
egal acum grupăm primii doi termeni
și o să îl dăm factor comun pe
5 k și avem 5 k pe lângă k plus
1 plus o să scriu în paranteză
pe Caba plus 1 ca să se vadă mai
clar faptul că o să mai putem da
încă o dată factor comun supra
5 k plus 1 pe lângă 5 k plus 6
egal da factor comun pe k plus
1 pe lângă 5 k plus 1 totul supra
5 k plus 1 pe lângă 5 k plus 6
egal Iată se simplifică 5k plus
1 și obținem rezultatul k plus
1 supra 5 k plus 6 iată că am ajuns
la aceeași formulăm scris mai sus
prin urmare propoziția pdk plus
1 este adevărată Așadar are loc
această implicație și astfel cele
două etape ale inducției matematice
sunt validate prin urmare rezultă
că propoziția p de n este propoziție
adevărată oricare ar fi n număr
natural mai mare sau egal cu 1
prin urmare formula găsită pentru
suma noastră este formula corectă