Mulțimi de numere
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Memorator: Mulțimi de numere Descarcă PDF
O mulțime este un ansamblu bine definit de obiecte, considerată ca un întreg. Obiectele dintr-o mulțime sunt numite elemente. Elementele unei mulțimi pot fi de orice natură: numere, persoane, litere ale alfabetului, alte mulțimi, etc. Prin convenție, mulțimile sunt notate cu majuscule cursive: A, B, C etc.
Două mulțimi A și B se numesc egale, și aceasta se notează A = B, dacă dețin (sunt formate din) aceleași elemente.
Numărul de elemente al unei mulțimi e denumit și cardinalitate. Pentru mulțimile infinite se folosește termenul cardinalitate, și nu numărul de membri, care ar fi neclar. În cazul mulțimilor finite pot apărea paradoxuri, pentru a căror evitare au fost construite teorii axiomatice ale mulțimilor.
Descrierea mulțimilor
Descrierea folosind cuvinte sau liste
Nu toate mulțimile au descrieri precise; ele pot fi doar colecții arbitrare, fără vreo regulă exprimabilă, care să specifice care anume elemente fac parte dintr-o mulțime.
Unele mulțimi pot fi descrise în cuvinte, cum ar fi:
- A este mulțimea primelor patru numere naturale .
- B este mulțimea culorilor de pe steagul Franței.
- C = {0, 1, 2, 3}
- D = {roșu, alb, albastru}
Identitatea mulțimilor nu depinde de ordinea în care elementele sunt listate, nici de prezența repetițiilor în listă.
De exemplu, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 6}.
Descrierea folosind notații matematice
Pentru mulțimi mari (cu multe elemente) scrierea întregii liste de elemente conținute poate deveni nepracticabilă.
De exemplu, E = {primele o mie de numere pozitive} ar fi, ca listă, foarte greoaie - atât la scris cât și la citit. Totuși matematicienii rareori descriu o mulțime de genul E în cuvinte, ca mai sus, preferând să folosească formulări simbolice:
- E = { 1 , 2 , 3 , . . . , 1000 }
Când se folosește această notație, trebuie avut grijă să se indice suficiente elemente pentru a face clar șablonul.
De exemplu, următoarea mulțime ar putea să reprezinte, în funcție de context, atât primele șaisprezece numere întregi, cât și primele cinci puteri ale lui doi (cât și alte mulțimi), fiind deci neclară (neunivocă):
- X = { 1 , 2 , . . . , 16 }
- F = { − 4 , − 3 , 0 , . . . , 357 }
- F = {primele douăzeci de numere mai mici cu patru decât un pătrat perfect},
În asemenea condiții, matematicienii descriu proprietatea caracteristică a membrilor mulțimii folosind o notație matematică. De exemplu:
- F = {
| n ∈ Z , 0 ≤ n ≤ 19 }
- F este mulțimea numerelor de forma
, unde n este un număr întreg cuprins între 0 și 19 inclusiv.
Apartenența la mulțime
Conceptul care descrie dacă un obiect este sau nu element al unei anumite mulțimi (altfel spus, dacă îi aparține sau nu) este notat cu simbolurile ∈ și respectiv ∉. Astfel, considerând mulțimile definite mai sus:
3 ∈ A și 285 ∈ F (deoarece 285 = 17² − 4); dar
9 ∉ F și "verde" ∉ B.
Submulțimi

A este o submulțime a lui B.
Dacă fiecare membru al mulțimii A este și membru al mulțimii B, atunci A se spune că este submulțime a lui B, și se scrie că A ⊆ B, citit și A este inclus în B. Echivalent, putem scrie B ⊇ A, citit B include A, sau B conține A. Relația dintre mulțimi stabilită de ⊆ se numește incluziune sau conținere.
Dacă A este o submulțime a lui B, dar nu este egală cu B, atunci A se numește submulțime proprie a lui B, ceea ce se scrie A ⊂ B sau B ⊃ A . Totuși, în literatură aceste simboluri se citesc la fel ca ⊆, deci se preferă adesea să se folosească simbolurile mai explicite ⊊ și ⊋ și pentru incluziunea strictă.
Exemple:
Mulțimea tuturor femeilor este o submulțime a mulțimii tuturor oamenilor.
- {1,3} ⊂ {1,2,3,4}
- {1,2,3,4} ⊆ {1,2,3,4}
- ∅ ⊆ A
- A ⊆ A
∀ M o mulțime ∃P, numită mulțimea părților lui M, astfel încât ∀A, A ⊂ M ⇔ A ∈ P
Altfel spus, fiind dată o mulțime M, există o mulțime P astfel încât elementele lui P sunt submulțimile lui M. Mulțimea P este unic determinată de mulțimea M deoarece presupunând prin reducere la absurd că ∃ Q o altă mulțime care satisface condiția ∀A, A ∈ Q ⇔ A ⊂ M, atunci pentru orice mulțime X rezultă: X ∈ Q ⇔ A ⊂ M ⇔ X ∈ P. Din axioma extensionalității obținem că P = Q , ca atare P este unic determinată de mulțimea M.
Notația tradițională pentru mulțimea părților lui M este P(M).
Pentru o mulțime finită M cu n elemente, cardinalul mulțimii părților se calculează ca o sumă a numerelor de mulțimi cu k elemente. Pentru k = 0 avem un singur element, mulțimea vidă ∅ ⊂ P(M). Pentru k = 1 mulțimea părților are exact n submulțimi de un singur element ale lui M. În general, pentru orice
Mulțimi speciale
Există unele mulțimi care au atât de mare importanță matematică și sunt referite atât de des încât ele au obținut nume și notații simbolice speciale, pentru a se opera mai ușor cu ele. Una din acestea este mulțimea vidă ∅. Alte mulțimi speciale de numere sunt:
reprezintă mulțimea tuturor numerelor naturale. Adică
= {0, 1, 2, 3, ...}, sau uneori
= {1, 2, 3, ...}.
reprezintă mulțimea tuturor numerelor întregi (pozitive, negative sau zero). Deci
= {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
reprezintă mulțimea tuturor numerelor raționale (adică mulțimea tuturor fracțiilor proprii și improprii). Astfel,
= { a b : a , b ∈ Z , b ≠ 0 }. De exemplu,
și
. Toți întregii sunt în această mulțime deoarece fiecare întreg a poate fi exprimat ca fracția
.
reprezintă mulțimea tuturor numerelor reale. Aceasta include toate numerele raționale, împreună cu toate numerele iraționale (adică numere care nu pot fi scrise ca fracții, cum ar fi
, e și
.
este mulțimea tuturor numerelor complexe.
Se observă că
Operații cu mulțimi
Reuniunea
Reuniunea lui A și B.

Există mai multe moduri de a construi o mulțime nouă din alta sau altele deja existente. Două mulțimi pot fi "adunate". Operația, numită "reuniunea" lui A cu B și notată A U B, este muțimea tuturor entităților care sunt membri fie ai lui A, fie ai lui B.
Exemple:
{ 1 , 2 } ∪ { a l b , g a l b e n } = { 1 , 2 , a l b , g a l b e n }
{ 1 , 2 , v e r d e } ∪ { a l b , g a l b e n , v e r d e } = { 1 , 2 , a l b , g a l b e n , v e r d e }
{ 1 , 2 } ∪ { 1 , 2 } = { 1 , 2 }
Unele proprietăți de bază ale reuniunii:
A ∪ B = B ∪ A
A ⊆ A ∪ B
A ∪ A = A
A ∪ ∅ = A
În cazul a n mulțimi,
În cazul general, când indicii mulțimilor aparțin unei mulțimi I,
Intersecția
Intersecția lui A și B.

O nouă mulțime poate fi construită și prin determinarea membrilor pe care două mulțimi date îi au în comun. "Intersecția" dintre A și B, notată A ∩ B, este mulțimea tuturor entităților (membrilor) care aparțin atât mulțimii A cât și mulțimii B. Dacă A ∩ B = ø, atunci A și B se numesc mulțimi disjuncte (fără membri comuni).
Exemple:
{ 1 , 2 } ∩ { a l b , g a l b e n } = ∅
{ 1 , 2 , g a l b e n } ∩ { a l b , g a l b e n , v e r d e } = { g a l b e n }
{ 1 , 2 } ∩ { 1 , 2 } = {1, 2}
Proprietăți de bază ale intersecțiilor:
A ∩ B = B ∩ A
A ∩ B ⊆ A
A ∩ A = A
A ∩ ∅ = ∅
În cazul a n mulțimi,
În cazul general, când indicii mulțimilor aparțin unei mulțimi I,
Diferența, complementarea
Complementul relativ al lui A față de B.

Două mulțimi pot fi "scăzute". Complementul relativ al lui A în B (numit și diferența dintre mulțimile B și A), notat B − A (sau și B \ A), este mulțimea tuturor elementelor care fac parte din B, dar nu și din A. De notat că nu este greșit să se "scoată" dintr-o mulțime elemente care nu îi aparțin, cum ar fi eliminarea elementului verde din mulțimea {1,2,3}; doar că această operație nu are nici un efect.
În anumite cazuri, toate mulțimile despre care se discută sunt considerate submulțimi ale unei mulțimi universale U. În astfel de cazuri U − A se numește complementul absolut (față de U), sau pur și simplu complementul lui A, și este notat cu A′.
Exemple:
{ 1 , 2 } ∖ { 3 , n e g r u } = { 1 , 2 }
{ 1 , 2 , g a l b e n } ∖ { a l b , g a l b e n , n e g r u , v e r d e } = { 1 , 2 }
{ 1 , 2 } ∖ { 1 , 2 } = ∅
Dacă U este mulțimea numerelor întregi, E este mulțimea întregilor pari, și O este mulțimea întregilor impari, atunci complementul lui E față de U este O: E ′ = O
Proprietăți de bază ale complementelor:
A ∪ A ′ = U
A ∩ A ′ = ∅
( A ′ ) ′ = A
A ∖ A = ∅
A ∖ B = A ∩ B
- Legile lui De Morgan:
( A ∪ B ) ′ = A ′ ∩ B ′
( A ∩ B ) ′ = A ′ ∪ B ′
Diferența simetrică
Diferența simetrică a mulțimilor A și B este mulțimea: A △ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A )
Proprietăți de bază ale diferenței simetrice:
A △ B = ( A ∪ B ) ∖ ( A ∩ B )
Produsul cartezian
Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din ansamblul tuturor perechilor a căror primă componentă aparține mulțimii X, iar a doua componentă aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate generaliza facil și pentru cazul a n mulțimi.
Perechi ordonate
Fie A și B două mulțimi nevide. Dacă a ∈ A, iar b ∈ B, atunci mulțimea { { a } , { a , b } } se numește pereche ordonată.
Perechea ordonată { { a } , { a , b } } se notează cu ( a , b ) .În acest caz a se numește abscisa perechii ordonate ( a , b ), iar b se numește ordonata perechii ordonate ( a , b ) .
Teoremă
Fie A și B două mulțimi nevide. Dacă a , s ∈ A , iar b , t ∈ B , atunci ( a , b ) = ( s , t ) dacă și numai dacă a = s și b = t
Definiție
Fie A și B două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea A și mulțimea B, mulțimea
A × B := { ( a , b ) : a ∈ A , b ∈ B }. Dacă A = ϕ atunci condiția a ∈ A este falsă, deci ϕ × B = ϕ. Analog, A × ϕ = ϕ și în particular ϕ × ϕ = ϕ.
Produsul cartezian A × A se notează
Produsul cartezian este necomutativ. În general A × B ≠ B × A , cu excepția cazurilor: A = ϕ sau B = ϕ sau A = B.
Teoremă
Pentru orice mulțimi A,B,C,D sunt adevărate afirmațiile:
Dacă A ⊆ C și B ⊆ D, atunci A × B ⊆ C × D;
A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C );
A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C );
A × ( B ∖ C ) = ( A × B ) ∖ ( A × C );
( A ∪ B ) × C = ( A × C ) ∪ ( B × C );
( A ∩ B ) × C = ( A × C ) ∩ ( B × C );
( A ∖ B ) × C = ( A × C ) ∖ ( B × C );
( A × B ) ∩ ( C × D ) = ( A ∩ C ) × ( B ∩ D );
( A × B ) ∖ ( C × D ) = [ ( A ∖ C ) × ( B ∖ D ) ] ∪ [ ( A ∩ C ) × ( B ∖ D ) ] ∪ [ ( A ∖ C ) × ( B ∩ D ) ];
( A × B ) ∖ ( C × D ) = [ ( A ∖ C ) × B ] ∪ [ ( A ∩ C ) × ( B ∖ D );
Dacă A ⊆ X, atunci: