Poligoane regulate
Tag-uri
Partajeaza in Google Classroom
Transcript
în această lecție o să vorbim despre
poligoane regulate și o să găsim
o formulă de calcul pentru latura
apotema și aria unui poligon regulat
în funcție de raza cercului circumscris
acestuia începem cu o definiție
o linie frântă închisă se numește
poligon există două tipuri de poligoane
convexe și concave Poligonul convex
are proprietatea că oricum aș unii
două puncte ale acestuia segmentul
astfel obținut este conținut în
întregime în interiorul Poligonului
în schimb Poligonul concav nu are
această proprietate dacă unelte
exemplu aceste două puncte observăm
că Segmentul determinat este situat
în afara Poligonului În astfel
de poligon se numește poligon Hanca
în continuare o să discutăm dat
despre poligoanele convex urmează
o altă definiție un poligon convex
este regulat dacă are toate laturile
și toate unghiurile congruente
avem aici câteva exemple de poligoane
regulate triunghiul echilateral
pătratul pentagonul Acesta este
un poligon cu cinci laturi hexagonul
este un poligon cu șase laturi
iar decagonul este un poligon cu
10 laturi în continuare să vedem
câteva proprietăți ale poligoanelor
regulate orice poligon regulat
se poate înscrie între un cerc
iar centrul cercului circumscris
unui poligon regulat se mai numește
centrul Poligonului distanța de
la centrul Poligonului la o latură
se numește apotemă în prima figură
avem un triunghi echilateral abc
o este centrul triunghiului perpendiculara
din A pe latura b c se numește
apotema având în vedere că un triunghi
are trei laturi putem să ducem
trei apoteme de reținut faptul
că punctul m este situat la mijlocul
laturii BC pentru că triunghiul
b o c este isoscel segmentele desenate
punctat sunt raze b o a o și c
o și ele sunt congruente Așadar
triunghiul boc va fi un triunghi
isoscel iar înălțimea în triunghi
isoscel este și mediană din acest
motiv punctul M va fi situat la
mijlocul laturii triunghiului în
a doua figură avem un pătrat înscris
în triunghi cerc distanța de la
centrul pătratului la o latură
a sa este apotema pătratului în
acest caz om putem să ducem 4 apotemei
toate acestea vor fi congruente
și nu uiti ma figure avem un hexagon
hexagonul este un poligon cu șase
laturi înseamnă că într un hexagon
putem să ducem șase apotemei toate
vor fi congruente și în acest caz
punctul m este situat la mijlocul
laturii hexagonului deoarece triunghiul
c o d este un triunghi isoscel
segmentele desenat punctat sunt
raze și le sunt congruente în continuare
discutăm despre poligoane regulate
în cazul general în care avem n
laturi pentru a obține un poligon
regulat cu n laturi procedăm în
felul următor împărțim un cerc
în n arce congruente unim punctele
de diviziune și obținem astfel
laturile Poligonului care vor fi
coardele cercului laturile Poligonului
sunt congruente pentru că subîntinde
arce de aceeași măsură unghiurile
Poligonului vor fi și acestea congruentei
pentru că ele cuprinde între laturile
lor ace de măsuri egale în continuare
ne propunem să determinăm o formulă
Generală de calcul pentru Măsura
unui unghi al unui poligon și pentru
măsura unghiului la centru având
în vedere că sunt en ar Ce înseamnă
că măsura unui arc a1 a2 va fi
egală cu 360 de grade supra end
pentru că un cerc întreg are 360
de grade atunci măsura unghiului
la centru a unui ou A2 ma fie egală
cu 360 de grade supra n pentru
că unghiul la centru are măsura
egală cu măsura arcului cuprins
între laturile sale Așadar măsura
unghiului a1 a2 va fi egală cu
360 de grade supra n să calculăm
în continuare Măsura unui unghi
al Poligonului de exemplu unghiul
a1 a2 a3 Acesta este un poligon
cu n vârfuri și n laturi de ce
avem n arce de măsuri egale Măsura
unui unghi situat pe cerc este
jumătate din măsura arcului cuprins
între laturile sale dar arcul cuprins
între laturile acestui unghi este
arcul mare a 1-a na3 având în vedere
că aici avem deja două arce a1
a2 respectiv a2 a3 înseamnă că
arcul mare a 1 a n a 3 conține
n minus 2 arse și atunci măsura
acestui arc mare a1a na3 va fi
egală cu n minus 2 ori măsura unui
arc adică 360 de grade supra n
Măsura unui unghi înscris în cerc
este jumătate din măsura arcului
cuprins între laturile sale astfel
măsura unghiului a1 a2 a3 ma fie
egală cu 1 pe 2 ori măsura arcului
mare a 1-a na3 și egal cu 1 supra
2 pe lângă n minus 2 ori 360 de
grade supra n se simplifică 2 cu
360 și obținem n minus 2 ori 180
de grade supra n aceasta va fi
formula de calcul pentru Măsura
unui unghi al unui poligon cu n
laturi dacă doiul să calculăm suma
măsurilor unghiurilor unui astfel
de poligon o să înmulțim Măsura
unui unghi cu n pentru că în total
avem n unghiuri în total sunt n
unghiuri atunci suma măsurilor
acestor ape care o sănătescu sa
fie egală cu n ori A minus 2 ori
180 de grade supra n se simplifică
n cu N și obținem n minus 2 ori
180 de grade în concluzie putem
să anunțăm aceste proprietăți Măsura
unui unghi al unui poligon regulat
cu n laturi este n minus 2 ori
180 de grade supra n suma măsurilor
unghiurilor unui poligon cu n laturi
este n minus 2 ori 180 de grade
și unghiul la centru corespunzător
fiecărei laturi are măsura de 360
de grade supra n astfel dacă ne
propunem să calculăm de exemplu
Măsura unui unghi al unui octagon
octogonul fiind un poligon cu opt
laturi înlocuim în această formulă
pe n cu numărul 8 și obține Măsura
unui unghi al octogonului în continuare
o să calculăm latura apotema și
aria unui poligon cu n laturi înscris
în cerc în funcție de raza cercului
circumscris Poligonului presupunem
că avem aici un poligon cu n vârfuri
și n laturi am notat primele patru
vârfuri cu a b c și d am dus apotema
om perpendiculară pe AB segmentele
punctate o a o b o c și o d sunt
raze Pentru început o să deducem
o formulă de calcul pentru latura
acestui poligon în funcție de raza
cercului circumscris mai întâi
remarcăm faptul că triunghiul AOB
este un triunghi isoscel pentru
că are două laturi congruente o
a și o b o m este înălțime în acest
triunghi isoscel prin urmare om
va fi mediană și bisectoare să
scriem aceste lucruri triunghiul
AOB este isoscel iar om este perpendiculară
pe ab prin urmare om este și mediană
adică a m va fi egal cu MB cu alte
cuvinte punctul m este mijlocul
laturii AB și om va fi și bisectoare
a unghiului aob asta înseamnă că
om în parte Unghiul aob în două
unghiuri congruente a o m și m
o b Așadar măsura unghiului a o
m a fi egală cu măsura unghiului
b o m scene ala cu jumătate din
măsura unghiului AOB am văzut mai
devreme că măsura unghiului la
centru este 360 de grade supra
n decedat mai departe cu jumătate
1 pe 2 ori măsura unghiului aob
și egal cu 1 pe 2 ori 360 de grade
supra n se simplifică 2 cu 360
și obținem 180 de grade supra n
aceasta este măsura unghiului b
o m în triunghiul dreptunghic b
o m o să aplicăm o funcție trigonometrică
pentru a determina lungimea laturii
m d pentru că ne interesează o
relație între latura Poligonului
și rază o să aplicăm funcția trigonometrică
sinus aceasta se definește ca raportul
dintre cateta opusă unghiului ascuțit
și ipotenuza În triunghiul dreptunghic
m o b sinusul unghiului b o m este
cateta opusă unghiului b o m adică
m b supra ipotenuza OB rezultata
sinus de 180 de grade supra n este
egal cu MB supra raza cercului
OB este rază din această relație
exprimăm lungimea segmentului MB
aceasta este egală cu raza ori
sinus de 180 de grade supra n pe
noi ne interesează ab latura Poligonului
aceasta a se obține dublul lungimea
laturii m b pentru că m este mijlocul
lui AB prin urmare latura Poligonului
adică a fi egală cu 2 ori r ori
sinus de 180 de grade supra n aceasta
este formula de calcul pentru Latura
unui poligon cu n laturi în funcție
de raza cercului circumscris acestuia
în continuare o să determinăm o
formulă de calcul pentru apotema
Poligonului în funcție de raza
pentru aceasta o să aplicăm o altă
funcție trigonometrică și anume
funcția trigonometrică cosinus
În triunghiul dreptunghic m o b
cosinusul unghiului b o m este
raportul dintre cateta alăturată
supra ipotenuză cateta alăturată
este om iar ipotenuza este o b
obținem astfel cosinus de 180 de
grade supra n egal cu om Care este
apotema Poligonului supra o b care
este rază din această relație exprimăm
apotema aceasta este egală cu aer
ori cosinus de 180 de grade supra
and am obținut și formula de calcul
pentru apotema Poligonului în funcție
de raza cercului circumscris în
continuare o să determină și formula
de calcul pentru aria acestei poligon
dacă Poligonul are n laturi și
unim punctul O cu fiecare vârf
al Poligonului obținem n triunghiuri
triunghiul AOB este unul din aceste
triunghiuri și atunci aria Poligonului
se obține însumând ariile celor
n triunghiuri Deci aria Poligonului
va finală cu n ori aria triunghiului
AOB triunghiul AOB are baza AB
și înălțimea om și atunci Momi
exprimă aria acestui triunghi ca
fiind Sami produsul dintre apotema
Poligonului și latura Poligonului
aria Poligonului este n ori aria
triunghiului aob egal cu n ori
aria triunghiului AOB este baza
ori înălțimea supra 2 ab ori om
supra 2 egal Putem să scriem n
supra 2 ori ab este latura Poligonului
iar om este apotema Poligonului
egal cu m supra doi în loc de el
o să scrie formula pe care am determinată
2r sinus de 180 de grade supra
n ori în loc de apotemă scrie în
formula r ori cosinus de 180 de
grade supra n egal 2:02 se simplifică
și obținem e n ori aer la a doua
cosinus de 180 de grade supra n
ori cosinus de 180 de grade supra
n aceasta este formula de calcul
pentru aria unui poligon cu n laturi
în funcție de raza cercului circumscris
acestuia de capitulăm puțin aceste
formule pe care le am de terminat
n n adică Latura unui poligon cu
n laturi este 2 sinus de 180 de
grade supra n apotema Poligonului
este raza ori cosinus de 180 de
grade supra n și aria Poligonului
este n ori el la a doua ori sinus
de 180 de grade supra n ori cosinus
de 180 de grade supra n în aceste
formule R este raza cercului circumscris
Poligonului iar n este numărul
de laturi ale Poligonului